福田の数学〜上智大学2023年理工学部第1問(3)〜正四面体を切った断面 - 質問解決D.B.(データベース)

福田の数学〜上智大学2023年理工学部第1問(3)〜正四面体を切った断面

問題文全文(内容文):
$\Large{\boxed{1}}$ (3)一辺の長さが2である正四面体OABCにおいて、辺OAの中点をM、辺BCの中点をNとする。
(i)線分MNの長さは$\boxed{\ \ あ\ \ }$である。
(ii)0<$s$<1とし、線分MNを$s$:$(1-s)$に内分する点をPとする。Pを通りMNに垂直な平面で四面体OABCを切った断面は$\boxed{\ \ い\ \ }$であり、その面積は$\boxed{\ \ う\ \ }$である。

$\boxed{\ \ あ\ \ }$の選択肢
(a)1 (b)$\sqrt 2$ (c)$\sqrt 3$ (d)2 (e)$\frac{1+\sqrt 5}{2}$ (f)$\frac{\sqrt 6}{2}$

$\boxed{\ \ い\ \ }$の選択肢
(a)正三角形 (b)正三角形でない二等辺三角形 (c)二等辺三角形でない三角形 (d)長方形 (e)長方形でない平行四辺形 (f)平行四辺形でない四角形

$\boxed{\ \ う\ \ }$の選択肢
(a)$s^2$ (b)$(1-s)^2$ (c)$s(1-s)$ (d)$s\sqrt{1-s^2}$ 
(e)$2s^2$ (f)$2(1-s)^2$ (g)$2s(1-s)$ (h)$2s\sqrt{1-s^2}$ 
(i)$4s^2$ (j)$4(1-s)^2$ (k)$4s(1-s)$ (l)$4s\sqrt{1-s^2}$ 
単元: #数A#大学入試過去問(数学)#図形の性質#学校別大学入試過去問解説(数学)#空間における垂直と平行と多面体(オイラーの法則)#上智大学#数学(高校生)
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
$\Large{\boxed{1}}$ (3)一辺の長さが2である正四面体OABCにおいて、辺OAの中点をM、辺BCの中点をNとする。
(i)線分MNの長さは$\boxed{\ \ あ\ \ }$である。
(ii)0<$s$<1とし、線分MNを$s$:$(1-s)$に内分する点をPとする。Pを通りMNに垂直な平面で四面体OABCを切った断面は$\boxed{\ \ い\ \ }$であり、その面積は$\boxed{\ \ う\ \ }$である。

$\boxed{\ \ あ\ \ }$の選択肢
(a)1 (b)$\sqrt 2$ (c)$\sqrt 3$ (d)2 (e)$\frac{1+\sqrt 5}{2}$ (f)$\frac{\sqrt 6}{2}$

$\boxed{\ \ い\ \ }$の選択肢
(a)正三角形 (b)正三角形でない二等辺三角形 (c)二等辺三角形でない三角形 (d)長方形 (e)長方形でない平行四辺形 (f)平行四辺形でない四角形

$\boxed{\ \ う\ \ }$の選択肢
(a)$s^2$ (b)$(1-s)^2$ (c)$s(1-s)$ (d)$s\sqrt{1-s^2}$ 
(e)$2s^2$ (f)$2(1-s)^2$ (g)$2s(1-s)$ (h)$2s\sqrt{1-s^2}$ 
(i)$4s^2$ (j)$4(1-s)^2$ (k)$4s(1-s)$ (l)$4s\sqrt{1-s^2}$ 
投稿日:2023.09.23

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【高校数学】立体の問題のポイント・重要公式集
-----------------
1⃣
球の中に正四面体ABCDが内接している。
正四面体ABCDの一辺の長さをaとし、球の半径をRとするとき、Rをaを用いて示しなさい。

2⃣
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このとき、球の半径rをaを用いて表しなさい。
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問題文全文(内容文):
$\Large{\boxed{3}}$ 一辺の長さが6の正四面体ABCDにおいて、点Aから3点B,C,Dを含む平面に垂線AHを下ろす。また、辺ABを1:2に内分する点をP、辺ACを2:1に内分する点をQ、辺ADを$t$:1-$t$に内分する点をRとする。ただし、
0<$t$<1 とする。
(1)AHの長さは$\boxed{\ \ ア\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ イ\ \ }}$ であり、正四面体ABCDの体積は$\boxed{\ \ ウエ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ オ\ \ }}$ である。
(2)AHと三角形PQRの交点をXとすると、$\overrightarrow{AX}$=$\boxed{\ \ カ\ \ }\overrightarrow{AH}$ である。
(3)三角形PQRの面積は$\sqrt{\boxed{\ \ キク\ \ }t^2-\boxed{\ \ ケコ\ \ }t+\boxed{\ \ サシ\ \ }}$ である。
(4)$t$=$\frac{1}{2}$ のとき、四面体APQRの体積は$\boxed{\ \ ス\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ セ\ \ }}$で、点Aから3点P,Q,Rを通る平面に垂線AYを下ろすと、AYの長さは$\frac{\boxed{\ \ ソ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ タ\ \ }}}{\boxed{\ \ チ\ \ }}$ である。
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指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}}\ (7)1辺の長さが\sqrt2の正三角形を底面とし、高さが4の直三角柱を考える。\\
この直三角柱を以下の条件①と条件②を共に満たす平面で切断するとき、切断面の\\
面積の最小値は\boxed{\ \ シ\ \ }である。ただし、直三角柱は底面と側面が垂直である三角柱\\
のことである。\\
条件① 切断面が直角三角形になる。\\
条件② 切断面の図形のすべての辺が直三角柱の側面上にある。
\end{eqnarray}

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福田の数学〜どれだけの情報を引き出せるかが勝負〜早稲田大学2023年商学部第2問〜球に内接する四面体の体積の最大

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問題文全文(内容文):
$\Large{\boxed{2}}$ 中心O、半径1の球に内接する四面体で、その4頂点$T_1$, $T_2$, $T_3$, $T_4$が次の条件(i), (ii)を満たすものを考える。
(i)|$\overrightarrow{T_1T_2}$|=$\sqrt 3$
(ii)$k$($\overrightarrow{OT_1}$+$\overrightarrow{OT_2}$)+$\overrightarrow{OT_3}$+$\overrightarrow{OT_4}$=$\overrightarrow{0}$
ここで、$k$は2未満の正の実数とする。次の設問に答えよ。
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(2)各$k$に対し、上の条件を満たす四面体の体積の最大値を$V(k)$とする。$V(k)$が最大になるときの$k$の値を求めよ。
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