問題文全文(内容文)：
(1)原点Oと2点A(-1, 2, -3)、B(-3, 2, 1)に対して、p=(1-t)OA+tOBとする。｜p｜の最小値とそのときの実数tの値を求めよ。
(2)定点A(-1, -2, 1)、B(5, -1, 3)とzx平面上の動点Pに対し、AP+PBの最小値を求めよ。

問題文全文(内容文)：
xyz空間における 8 点 O ( 0 , 0 , 0 ), A ( 1 , 0 , 0 ), B ( 1 , 1 , 0 ), C( 0 , 1 , 0 ), D ( 0 , 0 , 1 ),E ( 1 , 0 , 1 ), F( 1 , 1 , 1 ), G(0 , 1 , 1 ) を頂点とする立方体 OABC-DEFG を考える。また、pと q はp> 1 ,q> 1 を満たす実数とし、 3 点 P, Q, R を P( p, 0 , 0 ), Q(0 , q , 0 ),R( 0 , 0 , ${\displaystyle \frac{3}{2}}$ )とする。
(1)a,bを実数とし、べクトル$\overrightarrow{n}$=( a , b , 1 )は 2 つのべクトル $\overrightarrow{PQ},\overrightarrow{PR}$の両方に垂直であるとする。a,bをp,qを用いて表せ。
以下では 3 点 P, Q, R を通る平面を$\alpha$とし、点 F を通り平面を$\alpha$とし、点Fを通り平面$\alpha$に垂直な直線をlとする。また、xy平面と直線lの交点のx座標が${\displaystyle \frac{2}{3}}$であるとし、点 B は線分 PQ 上にあるとする。
(2)pおよびqの値を求めよ。
( 3 )平面と線分 EF の交点 M の座標、および平面と直線 FG の交点 N の座標を求めよ。
( 4 )平面で立方体 OABC - DEFG を 2 つの多面体に切り分けたとき、点 F を含む多面体の体積Vを求めよ。

2023慶應義塾大学商学部過去問

問題文全文(内容文)：
a,b を$a^2+b^2>1$かつ b≠0 をみたす実数の定数とする。
座標空間のA (a,0,b) と点 P(x, y, 0) をとる。
点O(0, 0, 0) を通り直線APと垂直な平面をαとし、平面と直線AP との交点をQとする。

$(\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AO}{)}^2=|\overrightarrow{AP}{|}^2|\overrightarrow{AQ}{|}^2$が成り立つことを示せ。

$|\overrightarrow{OQ}{|}^2=1$ をみたすように点P(x,y,0) が xy平面上を動くとき、点Pの軌跡を求めよ。

2023大阪大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 2}}$ xyz空間において、点O(0, 0, 0)と点A(0, 0, 1)を結ぶ線分OAを直径にもつ球面を$\sigma$とする。このとき以下の各問に答えよ。
(1) 球面$\sigma$の方程式を求めよ。
(2) xy平面上にあってOと異なる点Pに対して、線分APと球面$\sigma$との交点をQとするとき、$\overrightarrow{OQ}\mathrm{\perp }\overrightarrow{AP}$を示せ。
(3) 点S(p, q, r)を$\overrightarrow{OS}\mathrm{・}\overrightarrow{AS}=-|\overrightarrow{OS}{|}^2$を満たす、xy平面上にない定点とする。$\sigma$上の点Qが$\overrightarrow{OS}\mathrm{\perp }\overrightarrow{SQ}$を満たしながら動くとき、直線AQとxy平面上の交点Pはどのような図形を描くか。p, q, rを用いて答えよ。

2017東京医科歯科大学医学部過去問

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 4}}$aを1以上の実数とし、$AB=BC=CA=1$および$AD=BD=CD=a$
を満たす四面体ABCDを考える。このとき、$\cos \mathrm{\angle }BAD=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}$である。
また、ADの中点をEとしたとき、$\overrightarrow{EB}$を$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$を用いて表すと
$\overrightarrow{EB}=\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}$となるので、$|\overrightarrow{EB}|=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}$で、
$\overrightarrow{EB}\mathrm{・}\overrightarrow{EC}=\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}$
である。よって、$a=1$のとき、$\cos \mathrm{\angle }BEC=\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}$であり、
$\mathrm{\angle }BEC=60°$となるのは$a=\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}$のときである。

2022慶応義塾大学看護医療学科過去問