問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{2}$ Oを原点とする座標空間において、3点A(4,2,1), B(1,-4,1), C(2,2,-1)を通る平面を$\alpha$とおく。また、球面Sは半径が9で、Sと$\alpha$の交わりはAを中心としBを通る円であるとする。ただし、Sの中心Pのz座標は正とする。
(1)線分APの長さを求めよ。
(2)Pの座標を求めよ。
(3)Sと直線OCは2点で交わる。その2点間の距離を求めよ。

2023北海道大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
原点を $\mathrm{O}$ とする座標空間に3点 $\mathrm{A}(2,2,0)$, $\mathrm{B}(0,2,2)$, $\mathrm{P}(t,t,t)$ がある。線分 $\mathrm{AB}$ を直径とする球面を $K$ とし、球面 $K$ の中心を $\mathrm{C}$ とする。ただし、$t$ は正の実数とする。
(1) $\vec{\mathrm{OA}} \cdot \vec{\mathrm{OB}} =$ [ あ ] である。また、球面 $K$ の方程式は$$x^2 + y^2 + z^2 - [ い ]x - [ う ]y - [ え ]z + [ お ] = 0$$である。
(2) 直線 $\mathrm{OP}$ と球面 $K$ の共有点を $\mathrm{P}_1, \mathrm{P}_2$ とし、$\mathrm{OP}_1 < \mathrm{OP}_2$ とする。$\mathrm{P}_1$ の $x$ 座標は [ か ] / [ き ] であり、$\mathrm{P}_2$ の $x$ 座標は [ く ] である。このとき、三角形 $\mathrm{CP}_1\mathrm{P}_2$ の面積は [ け ][ こ ] $\sqrt{[ さ ]}$ / [ し ] である。
(3) 点 $\mathrm{P}$ を通り直線 $\mathrm{OP}$ に垂直な平面が球面 $K$ と接するとき、接点の座標を $(p,q,r)$ とすると、$p = [ す ] \mp [ せ ] \sqrt{[ そ ]} / [ た ]$ である。ただし、2つずつある [ す ][ せ ][ そ ][ た ] にはそれぞれ同じものが入る。このとき、2つの $p$ の値に対応する接点を $p$ の値が小さい順に $\mathrm{T}_1, \mathrm{T}_2$ とし、$\mathrm{T}_2$ から直線 $\mathrm{OT}_1$ に水線 $\mathrm{T}_2\mathrm{D}$ を引くと、$\mathrm{D}$ の座標は ( [ ち ] / [ つ ], [ て ] + $\sqrt{[ と ]}$ / [ な ], [ に ] / [ ぬ ] ) である。
(4) 点 $\mathrm{P}$ を通り直線 $\mathrm{OP}$ に垂直な平面 $\alpha$ との共有部分が円 $R$ となるときを考える。ただし、平面 $\alpha$ が点 $\mathrm{C}$ を通るときを除くとする。このとき、$\mathrm{C}$ を頂点とし円 $R$ を底面とする円すいの体積の最大値は [ ね ][ の ] $\sqrt{[ は ]}$ / [ ひ ][ ふ ] である。

問題文全文(内容文)：
四角形OABCは、OB+3BC＝2ABを満たしている。また、辺OAを2:1に内分する点を Dとし、a=OA、c=OCとする。
(1)OBをa,cを用いて表せ。
(2)2直線OB,CDの交点をP とする。OPｗｐa,cを用いて表せ。また、CP:PDを求めよ。
(3)OA=3、OB=√15,OC=4 とする。(i)内積a・cの値を求めよ。(ii)四角形OABCに、CとDが重なるように折 り目を付け、再び広げて四角形に戻す。折り目の直線lと直線OCの公転をNとする とき、ON:NCを求めよ。また、3直線OB,OC,lで囲まれてできる三角形の面積を求 めよ。

問題文全文(内容文)：
次の条件を満たす球面の方程式を求めよ。
(1)直径の両端が2点(1,-4,3) (3,0,1)である。
(2)点(1,-2,5)を通り、3つの座標平面に接する。

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{4}$ 座標空間の4点O(0,0,0),A(-3,-1,1),B(2,-2,2),C(3,3,3)を頂点とする四面体OABCの、平面$z$=$t$による切り口を$S_t$とする。
(1)$S_t$は1<$t$<2のとき四角形となり、$t$=1および$t$=2のとき三角形となる。
1<$t$1　となるので、点Eはこの六面体の外にある。
(さ),(し),(す)の選択肢：ABC,ABD,ACD,BCD,OAD,OBD,OCD
(4)1<$t$<2に対して、(3)の六面体を平面$z$=$t$で切った切り口の面積を$U(t)$とすると、$U(t)$は$t$=$\boxed{\ \ (た)\ \ }$(ただし1<$\boxed{\ \ (た)\ \ }$<2)において最大値$\boxed{\ \ (ち)\ \ }$をとる。