円周率πが無理数であることの証明（数III）

問題文全文(内容文)：
定理(1947,IvanNiren)
πは無理数である

補題1　

^{\forall} a \in R

lim_{n \to \infty} \frac{a^{n}}{n!} = 0

(n \in N)

補題2

f (x) = \frac{1}{n!} p^{n} x^{n} (π - x)^{n}

(p, n \in N)

nが十分大きいとき

0 < \int_{0}^{π} f (x) d x < 1

単元： #関数と極限#積分とその応用#数列の極限#不定積分#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：
定理(1947,IvanNiren)
πは無理数である

補題1　

^{\forall} a \in R

lim_{n \to \infty} \frac{a^{n}}{n!} = 0

(n \in N)

補題2

f (x) = \frac{1}{n!} p^{n} x^{n} (π - x)^{n}

(p, n \in N)

nが十分大きいとき

0 < \int_{0}^{π} f (x) d x < 1

投稿日：2020.10.11

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

　(1)m,nを自然数とし、

n ≧ 2

とする。このとき、

\log (1 + \frac{n}{m}) < \sum_{k = m}^{m + n - 1} \frac{1}{k} < \log (1 + \frac{n}{m}) + \frac{n}{m (m + n)}

を証明せよ。ただし、

\sum_{k = m}^{m + n - 1} \frac{1}{k} = \frac{1}{m} + \frac{1}{m + 1} + \dots + \frac{1}{m + n - 1}

とする。
(2)2以上の自然数

n

に対して

a_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{(2 n + k) (n + 1 - k)}

b_{n} = \frac{\log n}{n}

とおく。

lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}

を求めよ。

2019早稲田大学教育学部過去問

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06神奈川県教員採用試験（数学：1番　数列の極限）

単元： #関数と極限#数列の極限#その他#数学(高校生)#数Ⅲ#教員採用試験

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

a_{1} = 1, \frac{(a_{n + 1})^{2}}{a_{n}} = \frac{1}{e}

lim_{n \to \infty} a_{n}

を求めよ。

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極限の基本問題　立教大

単元： #関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
立教大学過去問題

lim_{x \to 0} \frac{\sin (1 - \cos x)}{x^{2}}

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大学入試問題#86　防衛医科大学(1988)　極限

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#防衛医科大学

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

0 < a

：実数

lim_{n \to \infty} (a^{n} + (1 + a)^{n})^{\frac{1}{n}}

を求めよ。

出典：1988年防衛医科大学　入試問題

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大学入試問題#155　琉球大学(1987)　極限

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#琉球大学#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

f (x) = x^{3} + 2 x

のとき

lim_{x \to 0} \frac{f (\sin x)}{\sin f (x)}

を求めよ。

出典：1987年琉球大学　入試問題

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