数列の極限
数列の極限
福田の数学〜慶應義塾大学2024年理工学部第1問(2)〜漸化式とはさみうちの原理
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#数列の極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
関数f(x)は実数全体で定義されており、$x\leqq 2$において
$\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}x\leqq f(x)\leqq 2-x$
を満たしているものとする。数列{$a_{ n }$}は漸化式
$a_{ n+1 }=a_{ n }+f(a_{ n })$
を満たしているものとする。
(i)$a_{ 1 } \leqq 2$ならば、すべての自然数nに対して、$a_{ 1 } \leqq a_{ n }\leqq2$となる事を証明しなさい。
(ii)$a_{ 1 } \leqq 2$ならば、$a_{ 1 }$の値によらず$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n = 2$となる事を証明しなさい。
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関数f(x)は実数全体で定義されており、$x\leqq 2$において
$\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}x\leqq f(x)\leqq 2-x$
を満たしているものとする。数列{$a_{ n }$}は漸化式
$a_{ n+1 }=a_{ n }+f(a_{ n })$
を満たしているものとする。
(i)$a_{ 1 } \leqq 2$ならば、すべての自然数nに対して、$a_{ 1 } \leqq a_{ n }\leqq2$となる事を証明しなさい。
(ii)$a_{ 1 } \leqq 2$ならば、$a_{ 1 }$の値によらず$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n = 2$となる事を証明しなさい。
福田のおもしろ数学030〜調和級数は発散しない？〜驚くべき事実がここに
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#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
調和級数
$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}…$
について解説します
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調和級数
$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}…$
について解説します
【高校数学あるある】無限等比数列の収束条件 (再) #Shorts
単元：
#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
数学・算数の楽しさを思い出した / Ken
問題文全文(内容文)：
無限等比例数{${\left( -\frac{8x}{x^2+7} \right)^n}$}が収束する$x$の範囲を求めよ。
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無限等比例数{${\left( -\frac{8x}{x^2+7} \right)^n}$}が収束する$x$の範囲を求めよ。
福田の数学〜早稲田大学2022年理工学部第３問〜漸化式と数列の極限
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\large\boxed{3}}\ rを実数とする。次の条件によって定められる数列\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\},\left\{c_n\right\}を考える。\\
a_1=r,\hspace{15pt}a_{n+1}=\frac{[a_n]}{4}+\frac{a_n}{4}+\frac{5}{6}\hspace{15pt}(n=1,2,3,\ldots)\\
b_1=r,\hspace{15pt}b_{n+1}=\frac{b_n}{2}+\frac{7}{12}\hspace{15pt}(n=1,2,3,\ldots)\\
c_1=r,\hspace{15pt}c_{n+1}=\frac{c_n}{2}+\frac{5}{6}\hspace{15pt}(n=1,2,3,\ldots)\\
ただし、[x]はxを超えない最大の整数とする。以下の問いに答えよ。\\
(1)\lim_{n \to \infty}b_nと\lim_{n \to \infty}c_nを求めよ。\\
(2)b_n \leqq a_n \leqq c_n\hspace{15pt}(n=1,2,3,\ldots)を示せ。\\
(3)\lim_{n \to \infty}a_nを求めよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
{\large\boxed{3}}\ rを実数とする。次の条件によって定められる数列\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\},\left\{c_n\right\}を考える。\\
a_1=r,\hspace{15pt}a_{n+1}=\frac{[a_n]}{4}+\frac{a_n}{4}+\frac{5}{6}\hspace{15pt}(n=1,2,3,\ldots)\\
b_1=r,\hspace{15pt}b_{n+1}=\frac{b_n}{2}+\frac{7}{12}\hspace{15pt}(n=1,2,3,\ldots)\\
c_1=r,\hspace{15pt}c_{n+1}=\frac{c_n}{2}+\frac{5}{6}\hspace{15pt}(n=1,2,3,\ldots)\\
ただし、[x]はxを超えない最大の整数とする。以下の問いに答えよ。\\
(1)\lim_{n \to \infty}b_nと\lim_{n \to \infty}c_nを求めよ。\\
(2)b_n \leqq a_n \leqq c_n\hspace{15pt}(n=1,2,3,\ldots)を示せ。\\
(3)\lim_{n \to \infty}a_nを求めよ。
\end{eqnarray}
福田の数学〜神戸大学2022年理系第２問〜無限等比級数の図形への応用
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#大学入試過去問(数学)#関数と極限#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#神戸大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}}\ mを3以上の自然数、\theta=\frac{2\pi}{m}, C_1を半径1の円とする。\hspace{100pt}\\
円C_1に内接する(全ての頂点がC_1上にある)正m角形をP_1とし、\\
P_1に内接する(P_1の全ての辺と接する)円をC_2とする。\\
同様に、nを自然数とするとき、円C_nに内接する正m角形をP_nとし、\\
P_nに内接する円をC_{n+1}とする。C_nの半径をr_n,C_nの内側\\
でP_nの外側の部分の面積をs_nとし、f(m)=\sum_{n=1}^{\infty}s_nとする。以下の問いに答えよ。\\
(1)r_n,s_nの値を\theta,nを用いて表せ。\\
(2)f(m)の値を\thetaを用いて表せ。\\
(3)極限値\lim_{m \to \infty}f(m)を求めよ。\\
ただし必要があれば\lim_{x \to 0}\frac{x-\sin x}{x^3}=\frac{1}{6}を用いてよい。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}}\ mを3以上の自然数、\theta=\frac{2\pi}{m}, C_1を半径1の円とする。\hspace{100pt}\\
円C_1に内接する(全ての頂点がC_1上にある)正m角形をP_1とし、\\
P_1に内接する(P_1の全ての辺と接する)円をC_2とする。\\
同様に、nを自然数とするとき、円C_nに内接する正m角形をP_nとし、\\
P_nに内接する円をC_{n+1}とする。C_nの半径をr_n,C_nの内側\\
でP_nの外側の部分の面積をs_nとし、f(m)=\sum_{n=1}^{\infty}s_nとする。以下の問いに答えよ。\\
(1)r_n,s_nの値を\theta,nを用いて表せ。\\
(2)f(m)の値を\thetaを用いて表せ。\\
(3)極限値\lim_{m \to \infty}f(m)を求めよ。\\
ただし必要があれば\lim_{x \to 0}\frac{x-\sin x}{x^3}=\frac{1}{6}を用いてよい。
\end{eqnarray}
福田の数学〜神戸大学2022年理系第１問〜３項間の漸化式と極限
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#神戸大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}}\ 数列\left\{a_n\right\}をa_1=1,a_2=2,a_{n+2}=\sqrt{a_{n+1}・a_n} (n=1,2,3,\ldots)によって定める。\\
以下の問いに答えよ。\\
(1)全ての自然数nについてa_{n+1}=\frac{2}{\sqrt{a_n}}が成り立つことを示せ。\\
(2)数列\left\{b_n\right\}をb_n=\log a_n (n=1,2,3,\ldots)によって定める。\\
b_nの値をnを用いて表せ。\\
(3)極限値\lim_{n \to \infty}a_nを求めよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}}\ 数列\left\{a_n\right\}をa_1=1,a_2=2,a_{n+2}=\sqrt{a_{n+1}・a_n} (n=1,2,3,\ldots)によって定める。\\
以下の問いに答えよ。\\
(1)全ての自然数nについてa_{n+1}=\frac{2}{\sqrt{a_n}}が成り立つことを示せ。\\
(2)数列\left\{b_n\right\}をb_n=\log a_n (n=1,2,3,\ldots)によって定める。\\
b_nの値をnを用いて表せ。\\
(3)極限値\lim_{n \to \infty}a_nを求めよ。
\end{eqnarray}
福田の数学〜大阪大学2022年理系第４問〜漸化式とはさみうちの原理
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#大学入試過去問(数学)#関数と極限#数列の極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}}\ f(x)=\log(x+1)+1とする。以下の問いに答えよ。\\
(1)方程式f(x)=xは、x \gt 0の範囲でただ1つの解を\\
もつことを示せ。\\
(2)(1)の解を\alphaとする。実数xが0 \lt x \lt \alphaを満たすならば、\\
次の不等式が成り立つことを示せ。\\
0 \lt \frac{\alpha-f(x)}{\alpha-x} \lt f'(x)\\
(3)数列\left\{x_n\right\}を\\
x_1=1, x_{n+1}=f(x_n) (n=1,2,3,\ldots\ldots)\\
で定める。このとき、全ての自然数nに対して\\
\alpha -x_{n+1} \lt \frac{1}{2}(\alpha -x_n)\\
が成り立つことを示せ。\\
(4)(3)の数列\left\{x_n\right\}について、\lim_{n \to \infty}x_n=\alphaを示せ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}}\ f(x)=\log(x+1)+1とする。以下の問いに答えよ。\\
(1)方程式f(x)=xは、x \gt 0の範囲でただ1つの解を\\
もつことを示せ。\\
(2)(1)の解を\alphaとする。実数xが0 \lt x \lt \alphaを満たすならば、\\
次の不等式が成り立つことを示せ。\\
0 \lt \frac{\alpha-f(x)}{\alpha-x} \lt f'(x)\\
(3)数列\left\{x_n\right\}を\\
x_1=1, x_{n+1}=f(x_n) (n=1,2,3,\ldots\ldots)\\
で定める。このとき、全ての自然数nに対して\\
\alpha -x_{n+1} \lt \frac{1}{2}(\alpha -x_n)\\
が成り立つことを示せ。\\
(4)(3)の数列\left\{x_n\right\}について、\lim_{n \to \infty}x_n=\alphaを示せ。
\end{eqnarray}
福田の数学・入試問題解説〜東北大学2022年理系第３問〜無限級数の和とはさみうちの原理
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large{\boxed{3}}}\ 正の整数nに対して、\\
S_n=\sum_{k=1}^n(\sqrt{1+\frac{k}{n^2}}-1)\\
とする。\\
(1)正の実数xに対して、次の不等式が成り立つことを示せ。\\
\\
\frac{x}{2+x} \leqq \sqrt{1+x}-1 \leqq \frac{x}{2}\\
\\
(2)極限値\lim_{n \to \infty}S_nを求めよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
{\Large{\boxed{3}}}\ 正の整数nに対して、\\
S_n=\sum_{k=1}^n(\sqrt{1+\frac{k}{n^2}}-1)\\
とする。\\
(1)正の実数xに対して、次の不等式が成り立つことを示せ。\\
\\
\frac{x}{2+x} \leqq \sqrt{1+x}-1 \leqq \frac{x}{2}\\
\\
(2)極限値\lim_{n \to \infty}S_nを求めよ。
\end{eqnarray}
【数Ⅲ】極限：極限の定形不定形をマスターしよう！
単元：
#関数と極限#数列の極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
極限の考え方の基本です。変形が必要な場合と必要でない場合の違いをチェックしましょう！
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極限の考え方の基本です。変形が必要な場合と必要でない場合の違いをチェックしましょう！
【数Ⅲ】極限：数列の極限と関数の極限の違いを解説します
福田のわかった数学〜高校３年生理系055〜格子点の個数と極限
単元：
#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 格子点の個数と極限\\
右図の斜線部分(※動画参照)に含まれる\\
格子点の総数をa_nとする。\\
\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{n^2} を求めよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 格子点の個数と極限\\
右図の斜線部分(※動画参照)に含まれる\\
格子点の総数をa_nとする。\\
\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{n^2} を求めよ。
\end{eqnarray}
【数Ⅲ】極限：2021年高3第1回全統記述模試
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#数列の極限#全統模試(河合塾)#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
初項2p²、公比pの等比数列{a[n]}がある。ただし、pは実数の定数とする。無限 等比級数Σ[n=1～∞]a[n]が収束し、その和が1であるとき、次の問に答えよ。
(1)p の値を求めよ。
(2)母線の長さが1、高さがa[n]の円錐の体積をV[n]とする。無限 級数Σ[n=1～∞]V[n]は収束するか。収束するときはその和を求め、発散するとき はそのことを示せ。
(3)母線の長さが1、高さがa[n]の円錐の側面積をT[n]とす る。無限級数Σ[n=1～∞]T[n]は収束するか。収束するときはその和を求め、発散 するときはそのことを示せ。
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初項2p²、公比pの等比数列{a[n]}がある。ただし、pは実数の定数とする。無限 等比級数Σ[n=1～∞]a[n]が収束し、その和が1であるとき、次の問に答えよ。
(1)p の値を求めよ。
(2)母線の長さが1、高さがa[n]の円錐の体積をV[n]とする。無限 級数Σ[n=1～∞]V[n]は収束するか。収束するときはその和を求め、発散するとき はそのことを示せ。
(3)母線の長さが1、高さがa[n]の円錐の側面積をT[n]とす る。無限級数Σ[n=1～∞]T[n]は収束するか。収束するときはその和を求め、発散 するときはそのことを示せ。
福田のわかった数学〜高校３年生理系015〜極限(15)級数と区分求積
単元：
#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 極限(15)\\
\lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{4n^2-k^2}} を求めよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 極限(15)\\
\lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{4n^2-k^2}} を求めよ。
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校３年生理系014〜極限(14)級数と区分求積
単元：
#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 極限(14)\\
\\
\lim_{n \to \infty}\frac{(1^2+2^2+\cdots+n^2)(1^5+2^5+\cdots+n^5)}{(1^2+2^2+\cdots+n^2)(1^6+2^6+\cdots+n^6)}\\
を求めよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 極限(14)\\
\\
\lim_{n \to \infty}\frac{(1^2+2^2+\cdots+n^2)(1^5+2^5+\cdots+n^5)}{(1^2+2^2+\cdots+n^2)(1^6+2^6+\cdots+n^6)}\\
を求めよ。
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校３年生理系013〜極限(12)無限等比級数とグラフ
単元：
#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 極限(13)\\
x≠-1とする。\\
x+\frac{x}{1+x}+\frac{x}{(1+x)^2}+\frac{x}{(1+x)^3}+\cdots\\
\\
が収束するxの範囲を求めよ。このとき、\\
その和f(x)のグラフを描け。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 極限(13)\\
x≠-1とする。\\
x+\frac{x}{1+x}+\frac{x}{(1+x)^2}+\frac{x}{(1+x)^3}+\cdots\\
\\
が収束するxの範囲を求めよ。このとき、\\
その和f(x)のグラフを描け。
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校３年生理系010〜極限(10)解けない漸化式の極限
単元：
#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 極限(10)\\
a_1=2, a_{n+1}=\sqrt{a_n+30} のとき、\\
\lim_{n \to \infty}a_n を調べよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 極限(10)\\
a_1=2, a_{n+1}=\sqrt{a_n+30} のとき、\\
\lim_{n \to \infty}a_n を調べよ。
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校３年生理系009〜極限(9)
単元：
#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 極限(9)\\
(1)|x| \lt 1のとき、\lim_{n \to \infty}nx^n=0を示せ。\\
(2)\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}の収束・発散を調べよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 極限(9)\\
(1)|x| \lt 1のとき、\lim_{n \to \infty}nx^n=0を示せ。\\
(2)\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}の収束・発散を調べよ。
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校３年生理系008〜極限(8)
単元：
#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 極限(8)\\
自然数Nはn桁の数とする。\\
\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{\log_{10}N}{n}を求めよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 極限(8)\\
自然数Nはn桁の数とする。\\
\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{\log_{10}N}{n}を求めよ。
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校３年生理系007〜極限(7)
単元：
#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 極限(7)\\
\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{n^2}{2^n}を求めよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 極限(7)\\
\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{n^2}{2^n}を求めよ。
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校３年生理系006〜極限(6)
単元：
#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 極限(6)\\
\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{\log(2n^2+1)}{\log(n+2)} を求めよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 極限(6)\\
\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{\log(2n^2+1)}{\log(n+2)} を求めよ。
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校３年生理系005〜極限(5)
単元：
#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 極限(5)\\
\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\displaystyle\sqrt[n]{{}_{2n}\mathrm{P}_{n}}\ \ \ \ を求めよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 極限(5)\\
\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\displaystyle\sqrt[n]{{}_{2n}\mathrm{P}_{n}}\ \ \ \ を求めよ。
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校３年生理系004〜極限(4)
単元：
#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 極限(4)\\
\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=0にもかかわらず\\
\sum_{n=1}^{\infty}a_nが発散する例を作れ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 極限(4)\\
\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=0にもかかわらず\\
\sum_{n=1}^{\infty}a_nが発散する例を作れ。
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校３年生理系003〜極限(3)
単元：
#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 極限(3)\\
\lim_{n \to \infty}(2^n+3^n)^{\frac{1}{n}} を求めよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 極限(3)\\
\lim_{n \to \infty}(2^n+3^n)^{\frac{1}{n}} を求めよ。
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校３年生理系002〜極限(2)
単元：
#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 極限(2)\\
次の命題で正しくないものは反例を示せ。\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\
(1)\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=+\infty,\displaystyle\lim_{n \to \infty}b_n=+\infty \to \displaystyle\lim_{n \to \infty}(a_n-b_n)=0\\
(2)\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=+\infty,\displaystyle\lim_{n \to \infty}b_n=0 \to \displaystyle\lim_{n \to \infty}a_nb_n=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\
(3)0 \leqq a_n \lt 1 \to \displaystyle\lim_{n \to \infty}(a_n)^n=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 極限(2)\\
次の命題で正しくないものは反例を示せ。\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\
(1)\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=+\infty,\displaystyle\lim_{n \to \infty}b_n=+\infty \to \displaystyle\lim_{n \to \infty}(a_n-b_n)=0\\
(2)\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=+\infty,\displaystyle\lim_{n \to \infty}b_n=0 \to \displaystyle\lim_{n \to \infty}a_nb_n=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\
(3)0 \leqq a_n \lt 1 \to \displaystyle\lim_{n \to \infty}(a_n)^n=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校３年生理系001〜極限(1)
単元：
#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 極限(1)\\
\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{a_n+3}{a_n+1}=2のとき\\
\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_nを求めよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 極限(1)\\
\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{a_n+3}{a_n+1}=2のとき\\
\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_nを求めよ。
\end{eqnarray}
【数B・Ⅲ】漸化式と極限：連立漸化式：数列{x[n]},{y[n]}をx[1]=y[1]=1, x[n+1]=(2/3)x[n]+(1/6)y[n], y[n+1]=(1/3)x[n]+(5/6)y…
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#数列#漸化式#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
数列{x[n]},{y[n]}をx[1]=y[1]=1, x[n+1]=(2/3)x[n]+(1/6)y[n], y[n+1]=(1/3)x[n]+(5/6)y[n]で定めるとき、
(1)x[n+1]+αy[n+1]=β(x[n]+αy[n])を満たすα,βの組を2組求めよう。
(2)数列{x[n]},{y[n]}の一般項を求めよう。
(3)数列{x[n]},{y[n]}の極限を求めよう。
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数列{x[n]},{y[n]}をx[1]=y[1]=1, x[n+1]=(2/3)x[n]+(1/6)y[n], y[n+1]=(1/3)x[n]+(5/6)y[n]で定めるとき、
(1)x[n+1]+αy[n+1]=β(x[n]+αy[n])を満たすα,βの組を2組求めよう。
(2)数列{x[n]},{y[n]}の一般項を求めよう。
(3)数列{x[n]},{y[n]}の極限を求めよう。
【数Ⅲ】極限：無限総和にひっかかるな！！無限総和は罠がいっぱい
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#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
1/1+1/2+1/3+1/4+...=
1/1+1/2+1/4+1/8+...=
それぞれの無限総和はいくつ？？
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1/1+1/2+1/3+1/4+...=
1/1+1/2+1/4+1/8+...=
それぞれの無限総和はいくつ？？
【数Ⅲ】数列の極限：次の無限級数の和を求めよう。Σ［n=1～∞］(1／2^n + 1／5^n)
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#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の無限級数の和を求めよう。Σ［n=1～∞］(1／2^n + 1／5^n)
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次の無限級数の和を求めよう。Σ［n=1～∞］(1／2^n + 1／5^n)
【数Ⅲ】数列の極限：次の極限値を求めよう。lim[n→∞](1-1／2²)(1-1／3²)…(1-1／n²)
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#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の極限値を求めよう。lim[n→∞](1-1／2²)(1-1／3²)…(1-1／n²)
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次の極限値を求めよう。lim[n→∞](1-1／2²)(1-1／3²)…(1-1／n²)
福田の数学〜慶應義塾大学2021年理工学部第３問〜確率と数列の極限
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#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数B#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}} nを自然数とする。1個のさいころを繰り返し投げる実験を行い、繰り返す回数が\\
2n+1回に達するか、5以上の目が2回連続して出た場合に実験を終了する。下の表は\\
n=2の場合の例である。例\textrm{a}では、5以上の目が2回連続して出ず、5回で実験を\\
終了した。例\textrm{b}では、5以上の目が2回連続して出たため、3回で実験を終了した。\\
\\
\begin{array}{c|ccccc}
& 1回目 & 2回目 & 3回目 & 4回目 & 5回目\\
\hline 例\textrm{a} & ⚃ & ⚅ & ⚀ & ⚁ & ⚀\\
例\textrm{b} & ⚂ & ⚅ & ⚄ \\
\end{array}\hspace{100pt}\\
\\
この実験において、Aを「5以上の目が2回連続して出る」事象、非負の整数kに対し\\
B_kを「5未満の目が出た回数がちょうどkである」事象とする。一般に、事象Cの\\
確率をP(C),Cが起こったときの事象Dが起こる条件付き確率をP_C(D)と表す。\\
\\
(1)n=1のとき、P(B_1)=\boxed{\ \ サ\ \ }である。\\
\\
(2)n=2のとき、P_{B_{2}}(A)=\boxed{\ \ シ\ \ }である。\\
以下、n \geqq 1とする。\\
\\
(3)P_{B_{k}}(A)=1となるkの値の範囲は0 \leqq k \leqq K_nと表すことができる。このK_nを\\
nの式で表すとK_n=\boxed{\ \ ス\ \ }である。\\
\\
(4)p_k=P(A \cap B_k)とおく。0 \leqq k \leqq K_nのとき、p_kを求めるとp_k=\boxed{\ \ セ\ \ }である。\\
また、S_n=\sum_{k=0}^{K_n}kp_k とおくと\lim_{n \to \infty}S_n=\boxed{\ \ ソ\ \ }である。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}} nを自然数とする。1個のさいころを繰り返し投げる実験を行い、繰り返す回数が\\
2n+1回に達するか、5以上の目が2回連続して出た場合に実験を終了する。下の表は\\
n=2の場合の例である。例\textrm{a}では、5以上の目が2回連続して出ず、5回で実験を\\
終了した。例\textrm{b}では、5以上の目が2回連続して出たため、3回で実験を終了した。\\
\\
\begin{array}{c|ccccc}
& 1回目 & 2回目 & 3回目 & 4回目 & 5回目\\
\hline 例\textrm{a} & ⚃ & ⚅ & ⚀ & ⚁ & ⚀\\
例\textrm{b} & ⚂ & ⚅ & ⚄ \\
\end{array}\hspace{100pt}\\
\\
この実験において、Aを「5以上の目が2回連続して出る」事象、非負の整数kに対し\\
B_kを「5未満の目が出た回数がちょうどkである」事象とする。一般に、事象Cの\\
確率をP(C),Cが起こったときの事象Dが起こる条件付き確率をP_C(D)と表す。\\
\\
(1)n=1のとき、P(B_1)=\boxed{\ \ サ\ \ }である。\\
\\
(2)n=2のとき、P_{B_{2}}(A)=\boxed{\ \ シ\ \ }である。\\
以下、n \geqq 1とする。\\
\\
(3)P_{B_{k}}(A)=1となるkの値の範囲は0 \leqq k \leqq K_nと表すことができる。このK_nを\\
nの式で表すとK_n=\boxed{\ \ ス\ \ }である。\\
\\
(4)p_k=P(A \cap B_k)とおく。0 \leqq k \leqq K_nのとき、p_kを求めるとp_k=\boxed{\ \ セ\ \ }である。\\
また、S_n=\sum_{k=0}^{K_n}kp_k とおくと\lim_{n \to \infty}S_n=\boxed{\ \ ソ\ \ }である。
\end{eqnarray}