福田の数学・入試問題解説〜東北大学2022年理系第3問〜無限級数の和とはさみうちの原理 - 質問解決D.B.(データベース)

福田の数学・入試問題解説〜東北大学2022年理系第3問〜無限級数の和とはさみうちの原理

問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\Large{\boxed{3}}}\ 正の整数nに対して、\\
S_n=\sum_{k=1}^n(\sqrt{1+\frac{k}{n^2}}-1)\\
とする。\\
(1)正の実数xに対して、次の不等式が成り立つことを示せ。\\
\\
\frac{x}{2+x} \leqq \sqrt{1+x}-1 \leqq \frac{x}{2}\\
\\
(2)極限値\lim_{n \to \infty}S_nを求めよ。
\end{eqnarray}
単元: #大学入試過去問(数学)#関数と極限#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\Large{\boxed{3}}}\ 正の整数nに対して、\\
S_n=\sum_{k=1}^n(\sqrt{1+\frac{k}{n^2}}-1)\\
とする。\\
(1)正の実数xに対して、次の不等式が成り立つことを示せ。\\
\\
\frac{x}{2+x} \leqq \sqrt{1+x}-1 \leqq \frac{x}{2}\\
\\
(2)極限値\lim_{n \to \infty}S_nを求めよ。
\end{eqnarray}
投稿日:2022.03.19

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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{5}}\ 座標空間内において、ベクトル\\
\overrightarrow{ a }=(1,2,1), \overrightarrow{ b }=(1,1,-1), \overrightarrow{ c }=(0,0,1)\\
が定める直線\\
l:s\overrightarrow{ a }, l':t\overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ c }\\
を考える。点A_1を原点(0,0,0)とし、点A_1から直線l'に下ろした垂線A_1B_1と\\
おく。次に、点B_1(t_1\overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ c })から直線lに下ろした垂線をB_1A_2とおく。\\
同様に、点A_k(s_k\overrightarrow{ a })から直線l'に下ろした垂線をA_kB_k、点B_k(t_k\overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ c })から直線l\\
に下ろした垂線をB_kA_{k+1}とする手順を繰り返して、点A_n(s_n\overrightarrow{ a }),B_n(t_n\overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ c })\\
(nは正の整数)を定める。\\
(1)s_nを用いてs_{n+1}を表せ。\\
(2)極限値S=\lim_{n \to \infty}s_n, T=\lim_{n \to \infty}t_nを求めよ。\\
(3)(2)で求めたS,Tに対して、点A,BをそれぞれA(S\overrightarrow{ a }),B(T\overrightarrow{ b }+\overrightarrow{ c })とおくと、\\
直線ABは2直線l,l'の両方と直交することを示せ。
\end{eqnarray}
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