問題文全文(内容文)：
下記の定積分を解け
$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \displaystyle \frac{\sin^3\theta}{\cos\theta} d\theta$

出典：東京電機大学

問題文全文(内容文)：
$xy$ 平面上の原点 $\mathrm{O}$ を中心とする単位円を考える。この円周上に点 $\mathrm{P}$ をとり、 $\mathrm{O}$ を極、 $x$ 軸の正の部分を始線とする点 $\mathrm{P}$ の偏角を $\theta$ とする。さらに、偏角が $3 \theta$ となる点 $\mathrm{Q}$ をこの円周上にとる。点 $\mathrm{P}$ を通る $x$ 軸に垂直な直線と点 $\mathrm{Q}$ を通る $y$ 軸に垂直な直線の交点を $\mathrm{R}$ とする。次の問いに答えよ。
$(1)$ $\theta$ が $0$ から $2 \pi$ まで変化するとき、点 $\mathrm{R}$ の軌跡の概形をかけ。
$(2)$ $(1)$ の点 $\mathrm{R}$ の軌跡によって囲まれた部分の面積を求めよ。
$(3)$ $(1)$ の点 $\mathrm{R}$ の軌跡によって囲まれた部分を、 $x$ 軸の周りに $1$ 回転させてできる立体の体積を求めよ。

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$\displaystyle \int_{0}^{-1} \displaystyle \frac{x^2+2x+1}{\sqrt{ -x^2-2x+1 }} dx$

出典：2018年産業医科大学　入試問題

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数Ⅲ(速度と道のり①・直線運動編)

ポイント
数直線上を運動する点Pの速度$v$が時刻$t$の関数$v=f(t)$で表されるとき、$t=a$から$t=b$までのPの位置の変化$S$、Pの道のり$l$は

位置の変化$S=$ ①
道のり$l=$ ➁

Q
$x$軸上を運動する点の、時刻$t$における位置を$f(t)$、速度を$v(t)$とすると、$v(t)=4t-t^2$と表されるという。
$f(1)=5$のとき、次の問いに答えよ。
③時刻$t$における位置$f(t)$を求めよ。
④$t=2$から$t=5$までに点が動いた道のりを求めよ。

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次の関数f(x)を考える。
$f(x)=(\cos x)\log(\cos x)-\cos x+\int_0^x(\cos t)\log(\cos t)dt　(0 \leqq x \lt \frac{\pi}{2})$
(1)f(x)は区間$0 \leqq x \lt \frac{\pi}{2}$において最小値を持つことを示せ。
(2)f(x)は区間$0 \leqq x \lt \frac{\pi}{2}$における最小値を求めよ。

2022東京大学理系過去問