問題文全文(内容文)：
$a_1=2,a_{n+1}=\displaystyle \frac{1}{2}a_n+\displaystyle \frac{1}{a_n}$　$n=1,2,3,・・・$で定義される数列$\{a_n\}$について以下の問いに答えよ。
（1）$a_n \gt \sqrt{ 2 }(n=1,2,3,・・・)$を証明せよ。
（2）$a_{n+1}-\sqrt{ 2 } \lt \displaystyle \frac{1}{2}(a_n-\sqrt{ 2 })(n=1,2,3,・・・)$を証明せよ。
（3）$\displaystyle \lim_{ n \to \infty }a_n$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
|$x$|＜1　のとき、$\displaystyle\lim_{n \to \infty}nx^n$=0　を示せ。

問題文全文(内容文)：
$x,y$：異なる正の実数
$a_1=0$
$a_{n+1}=x a_n=s\ a_n+y^{n+1}$のとき
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty }a_n \lt \infty$となるような$(x,y)$の範囲を図示せよ。

出典：2007年京都大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \sum_{i=1}^\infty\ \tan^{-1}\displaystyle \frac{1}{k^2+k+1}$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$a_1=1,$　$a_{n+1}+a_n=\displaystyle \frac{1}{n}$のとき、
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } |na_n|$を求めよ