問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}}\ f(x)=\log(x+1)+1とする。以下の問いに答えよ。\\
(1)方程式f(x)=xは、x \gt 0の範囲でただ1つの解を\\
もつことを示せ。\\
(2)(1)の解を\alphaとする。実数xが0 \lt x \lt \alphaを満たすならば、\\
次の不等式が成り立つことを示せ。\\
0 \lt \frac{\alpha-f(x)}{\alpha-x} \lt f'(x)\\
(3)数列\left\{x_n\right\}を\\
x_1=1,　x_{n+1}=f(x_n)　(n=1,2,3,\ldots\ldots)\\
で定める。このとき、全ての自然数nに対して\\
\alpha -x_{n+1} \lt \frac{1}{2}(\alpha -x_n)\\
が成り立つことを示せ。\\
(4)(3)の数列\left\{x_n\right\}について、\lim_{n \to \infty}x_n=\alphaを示せ。
\end{eqnarray}

2022大阪大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
四面体$OABC$の辺$AB$を$4:5$に内分する点を$D$、辺$OC$を$2:1$に内分する点を$E$とし、線分$DE$の中点を$P$、直線$OP$が平面$ABC$と交わる点を$Q$とする。
次の各問いに答えよ。
（1）
$\overrightarrow{ OA }=\vec{ a },\ \overrightarrow{ OB }=\vec{ b },\ \overrightarrow{ OC }=\vec{ c }$とおくとき、$\overrightarrow{ OP }$を$\vec{ a },\ \vec{ b },\ \vec{ c }$で表せ。
また、$\overrightarrow{ OP }$と$\overrightarrow{ OQ }$の大きさの比$|\overrightarrow{ OP }|:|\overrightarrow{ OQ }|$を最も簡単な整数比で表せ。

（2）
$\triangle ABQ$と$\triangle ABC$の面積比$\triangle ABQ:\triangle ABC$を最も簡単な整数比で表せ。

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{1} e^x(e^{2x}+\frac{1}{e^{2x}}) dx$

出典：2024年茨城大学

問題文全文(内容文)：
$a_1=2,a_{n+1}=\displaystyle \frac{4a_n^2+9}{8a_n}(n=1,2,3,・・・)$で定義される数列$\{a_n\}$について以下の問いに答えよ。
（1）$a_n \gt \displaystyle \frac{3}{2}(n=1,2,3,・・・)$を証明せよ。
（2）$a_{n+1}-\displaystyle \frac{3}{2} \lt \displaystyle \frac{1}{3}\left[ a_n-\dfrac{ 3 }{ 2 } \right]^2(n=1,2,3,・・・)$を証明せよ。
（3）$\displaystyle \lim_{ n \to \infty }a_n$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
実数$x,y$が
$2^4-2x^3y-3x^3+3x^2y-xy+y^2+x-y=0$を満たすとき、$x^2+y^2-4y+4$の最小値は？

出典：信州大学医学部　過去問