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開成高校過去問題
A,B(A＜B)は自然数で最大公約数が$g(\neq1)$で最小公倍数がl
$A^2+B^2+g^2+l^2 = 1300$を満たすA,Bを求めよ

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問題28
次の数の正の約数の個数と、その約数の総和を求めよ。
(1)$5・2^3$　　　(2)$108$　　　(3)$540$

問題29
2桁の自然数のうち、各位の数の積が偶数になる自然数は何個あるか。

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$n$を$2$以上の自然数とする。自然数の組$(a_1,a_2,\cdots,a_n)$を解とする方程式
$(*)~a_1+a_2+\cdots+a_n=a_1 \times a_2 \times \cdots \times a_n$を考える。
(1) $n=3$のとき、$(*)$の解$(a_1,a_2,a_3)$のうち、$a_1\leqq a_2 \leqq a_3$を満たすものをすべて求めよ。
(2) $n\geqq 3$のとき、$(*)$の任意の解$(a_1,a_2,\cdots,a_n)$において、$a_i=1$となる$i$が少なくとも1つ存在することを示せ。
(3) $(*)$のある解$(a_1,a_2,\cdots,a_n)$において、$a_i=1$となる$i$がちょうど2個存在しているとする。このとき、$n$のとりうる値を全て求めよ。

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三角形の重心・内心・外心について解説します。

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何人かの人をいくつかの部屋に分ける問題を考える。
ただし、各部屋は十分に大きく、定員については考慮しなくてよい。
（1）
7人を2つの部屋$A,B$に分ける。
　（ⅰ）部屋$A$に3人、部屋$B$に4人となる分け方は全部で何通りあるか。
　（ⅱ）どの部屋も1人以上になる分け方は全部で何通りあるか。
　（ⅲ）（ⅱ）のうち、部屋$A$の人数が奇数である分け方は全部で何通りあるか。

（2）
4人を三つの部屋$A,B,C$に分ける。
どの部屋も1人以上になる分け方は全部で何通りあるか。

（3）
大人4人、こども3人の計7人を三つの部屋$A,B,C$に分ける。
　（ⅰ）どの部屋も大人が1人以上になる分け方は全部で何通りあるか。
　（ⅱ）（ⅱ）のうち、三つの部屋に子ども3人が1人ずつ入る分け方は全部で何通りあるか。
　（ⅲ）どの部屋も大人が1人以上で、かつ、各部屋とも2人以上になる分け方は全部で何通りあるか。