問題文全文(内容文)：
(1)座標平面上の3点A(-1,0),B(1,0),Cを頂点とする三角形について考える。
点Cのy座標は正であり、原点をOとして、以下の問いに答えよ。
$(\textrm{a})\angle BAC \lt \angle ABC$を満たす場合、点Cは第$\boxed{ア}$象限に存在する。
$(\textrm{b})\angle ABC \lt \angle ACB$を満たす場合、点Cは$\boxed{イ}$の$\boxed{ウ}$に存在する。
$(\textrm{c})\angle ACB \lt \frac{\pi}{2}$を満たす場合、点Cは$\boxed{エ}$の$\boxed{オ}$に存在する。
$(\textrm{d})\angle BAC \leqq \angle ABC \leqq ACB \leqq \frac{\pi}{2}$を満たす点Cが存在する領域(境界を含む)
の面積は$\frac{\boxed{カ}}{\boxed{キク }}\pi-\frac{\sqrt{\boxed{ケ }}}{\boxed{コ }}$である。
$\boxed{イ},\boxed{エ}$の解答群
①点Aを中心とし点Bを通る円
②点Bを中心とし点Aを通る円
③線分ABを直径とする円
④離心率が0.5で2点O,Aを焦点とする楕円
⑤離心率が0.5で2点O,Bを焦点とする楕円
⑥離心率が0.5で2点A,Bを焦点とする楕円
⑦線分ABを一辺にもち、重心のy座標が正である正三角形
⑧線分ABを一辺にもち、重心のy座標が正である正方形

$\boxed{ウ},\boxed{オ}$の解答群
①内部 ②周上 ③外部 ④重心

(2)座標空間内の4点$A(-1,0,0),B(1,0,0),C(s,t,0),D$を原点とし、
$\angle BAC \lt \angle ABC \lt \angle ACB$
を満たす四面体を考える。$t \gt 0$であり、点Ｄのz座標は正であるとする。
$(\textrm{a})\angle ADC=\frac{\pi}{2}$を満たす場合、点Dは$\boxed{サ }$に存在する。
$(\textrm{b})\angle ADC=\angle BDC=\frac{\pi}{2}$を満たす場合、
点Dのx座標はsであり、点Dは$(s,\boxed{シ},0)$を中心とする
半径$\boxed{ス}$の円周上にある。
$(\textrm{c})$以下では$t=\frac{4}{3}$とする。設問(1)の結果から、点Cのx座標sは
$\boxed{セ} \lt s \lt -\boxed{ソ}+\frac{\boxed{タ}\sqrt{\boxed{チ}}}{\boxed{ツ}}$の範囲をとりうる。この範囲でsが変化
するとき、$\angle ADB=\angle ADC =\angle BDC=\frac{\pi}{2}$を満たす四面体ABCDの体積は
$s=\frac{\boxed{テ}}{\boxed{エ}}$のとき最大値$\frac{\boxed{ナ}}{\boxed{二ヌ }}$をとる。

2022杏林大学医学部過去問

問題文全文(内容文)：
四面体$OABC$の辺$AB$を$4:5$に内分する点を$D$、辺$OC$を$2:1$に内分する点を$E$とし、線分$DE$の中点を$P$、直線$OP$が平面$ABC$と交わる点を$Q$とする。
次の各問いに答えよ。
（1）
$\overrightarrow{ OA }=\vec{ a },\ \overrightarrow{ OB }=\vec{ b },\ \overrightarrow{ OC }=\vec{ c }$とおくとき、$\overrightarrow{ OP }$を$\vec{ a },\ \vec{ b },\ \vec{ c }$で表せ。
また、$\overrightarrow{ OP }$と$\overrightarrow{ OQ }$の大きさの比$|\overrightarrow{ OP }|:|\overrightarrow{ OQ }|$を最も簡単な整数比で表せ。

（2）
$\triangle ABQ$と$\triangle ABC$の面積比$\triangle ABQ:\triangle ABC$を最も簡単な整数比で表せ。

問題文全文(内容文)：
三角形$OAB$が
$|\overrightarrow{ OA }|=3,$ $|\overrightarrow{ AB }|=5,$ $\overrightarrow{ OA }.\overrightarrow{ AB }=10$
を満たしているとする。
三角形$OAB$の内接円の中心を$I$とし、この内接円と辺$OA$の接点を$H$とする。

１．辺$OB$の長さを求めよ。
２．$\overrightarrow{ OI }$を$\overrightarrow{ OA }$と$\overrightarrow{ OB }$を用いて表せ。
３．$\overrightarrow{ HI }$を$\overrightarrow{ OA }$と$\overrightarrow{ OB }$を用いて表せ。

出典：2024年北海道大学

問題文全文(内容文)：
座標空間に4点A(-1, -1, -1), B(2, 0, 1), C(-2, 2, 0), D(1,0,5)がある。このとき、三角形ABCの面積は キ である。平面ABC上に点Hを直線DHが平面 ABCと垂直になるようにとると、点Hの座標は ク である。また、四面体ABCD の体積は ケ である。

問題文全文(内容文)：
$\fbox{2} xyz$ 空間において、点$\mathrm{ A }( 1, 0, 0 )$, $\mathrm{ B }(0, 1, 0)$, $\mathrm{ C }(-1, 0, 0)$, $\mathrm{ D }(0, 0, 1)$ をとり、線分 $\mathrm{ CD }$の中点を$\mathrm{ M }$とする。さらに、$\mathrm{ N }$を線分$\mathrm{ BD }$上の点とする。また、$z$軸と平行でない直線上の異なる2点$\mathrm{ P }(x, y, z), \mathrm{ Q }(x', y', z')$ に対して
$\frac{z' - z}{\sqrt{(x' - x) ^ 2 + (y' - y) ^ 2}}$をベクトル$\overrightarrow{ \mathrm{ PQ } }$の勾配と呼ぶ。$\overrightarrow{ \mathrm{ AN } }$の勾配を$t_1$、$\overrightarrow{ \mathrm{ NM } }$の勾配を$t_2$とするとき、
以下の各問いに答えよ。
(1) $t_2 = 0$ となるように$\mathrm{ N }$をとったとき、$t_1$の値を求めよ。
(2) $l = |\overrightarrow{ \mathrm{ AN } }|+|\overrightarrow{ \mathrm{ NM } }|$とし、$l$が最小となるように$\mathrm{ N }$をとったとき、$l$の値を求めよ。
(3) $0 \leqq t_{2} \leqq t_{1}$ となるように$\mathrm{ N }$をとったとき、$\mathrm{ N }$の$y$座標を$s$とする。$s$がとりうる値の範囲を求めよ。