大学入試問題#180 秋田県立大学(2004) 定積分ウォリス積分②

大学入試問題#180　秋田県立大学(2004)　定積分　ウォリス積分②

問題文全文(内容文)：

\int_{0}^{1} (1 - x^{2})^{4} d x

出典：2004年秋田県立大学　入試問題

単元： #積分とその応用#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{0}^{1} (1 - x^{2})^{4} d x

出典：2004年秋田県立大学　入試問題

投稿日：2022.04.26

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指導講師：

問題文全文(内容文)：

\int_{0}^{π} \frac{1}{2} (1 - \cos x)^{2} d x

出典：2024年前橋工科大学

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福田の数学〜中央大学2022年理工学部第１問〜定積分で表された関数

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#中央大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
関数f(x)が

f (x) = \int_{0}^{π} t f (t) \cos (x + t) d t + \frac{1}{4}

を満たしている。このとき,

A = \int_{0}^{π} t f (t) \cos t d t

B = \int_{0}^{π} t f (t) \sin t d t . . . ①

とおいて

f (x)

をAとBで表すと、

f (x) = A \times (ア) + B \times (イ) + \frac{1}{4} . . . ②

となる。ここで、

\int_{0}^{π} t \cos t d t = - 2, \int_{0}^{π} t \cos^{2} t d t = ウ, \int_{0}^{π} t \sin t d t = π

\int_{0}^{π} t \sin^{2} t d t = エ, \int_{0}^{π} t \cos t \sin t d t = オ

を用い、①に②を代入して整理すると、AとBの満たす連立方程式

{\begin{matrix} (カ) A - π B + 2 = 0 \\ π A + (キ) B - π = 0 \end{matrix}

が得られる。この連立方程式を解くと

A = \frac{ク}{π^{4} - π^{2} - 16}, B = \frac{π (ケ)}{π^{4} - π^{2} - 16}

が得られ、したがって

f (x) = \frac{ク}{π^{4} - π^{2} - 16} \times (ア) +

\frac{π (ケ)}{π^{4} - π^{2} - 16} \times (イ) + \frac{1}{4}

となる。

ア, イ

の解答群

ⓐ \sin x ⓑ - \sin x ⓒ \cos x ⓓ - \cos x

ⓔ \tan x ⓕ - \tan x

ウ, エ, オ

の解答群

ⓐ π ⓑ \frac{π}{2} ⓒ \frac{π}{4} ⓓ \frac{π}{8} ⓔ - π

ⓕ - \frac{π}{2} ⓖ - \frac{π}{4} ⓗ - \frac{π}{8} ⓘ π^{2} ⓙ \frac{π^{2}}{2}

ⓚ \frac{π^{2}}{4} ⓛ \frac{π^{2}}{8} ⓜ - π^{2} ⓝ - \frac{π^{2}}{2} ⓞ - \frac{π^{2}}{4}

ⓟ - \frac{π^{2}}{8} ⓠ \frac{π^{2} + 4}{16} ⓡ \frac{π^{2} - 4}{16} ⓢ \frac{- π^{2} + 4}{16} ⓣ - \frac{π^{2} + 4}{16}

カ, キ, ク, ケ

の解答群

ⓐ π^{2} + 2 ⓑ π^{2} - 2 ⓒ - π^{2} + 2 ⓓ - π^{2} - 2

ⓔ π^{2} + 4 ⓕ π^{2} - 4 ⓖ - π^{2} + 4 ⓗ - π^{2} - 4

ⓘ π^{2} + 6 ⓙ π^{2} - 6 ⓚ - π^{2} + 6 ⓛ - π^{2} - 6

ⓜ π^{2} + 8 ⓝ π^{2} - 8 ⓞ - π^{2} + 8 ⓟ - π^{2} - 8

2022中央大学理工学部過去問

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

\begin{array}{r} {\begin{cases} x = θ - \sin θ \\ y = 1 - \cos θ \end{cases} \end{array} (0 ≦ θ ≦ 2 π)

で表される曲線をCとする。

(1)Cとx軸で囲まれる部分の領域をDとする。Dの面積Sを求めよ。
(2)Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積Vを求めよ。

\begin{array}{r} {\begin{cases} x = t^{2} + 1 \\ y = 2 - t - t^{2} \end{cases} \end{array} (- 2 ≦ t ≦ 1)

で表される曲線とx軸で囲まれた面積を求めよ。

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大学入試問題#347　東京電機大学　#定積分

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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{0}^{\frac{π}{3}} (x \tan x - l o g (\cos x)) d x

出典：東京電機大学　入試問題

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【高校数学】富山大学2023年の積分の問題をその場で解説しながら解いてみた！毎日積分86日目~47都道府県制覇への道~【㉙富山】【毎日17時投稿】

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#数学(高校生)#富山大学#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
【富山大学 2023】
(1)

t = t a n \frac{x}{2} (- π ＜ x ＜ π)

とおく。
この時、

s i n x = \frac{2 t}{1 + t^{2}}, c o s x = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}}, \frac{d x}{d t} = \frac{2}{1 + t^{2}}

であることを示せ。
(2) 定積分

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{d x}{1 + s i n x + c o s x}

を求めよ。
(3) ２つの定積分

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + 2 s i n x}{1 + s i n x + c o s x} d x, \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + 2 c o s x}{1 + s i n x + c o s x} d x

が等しいことを示せ。
(4) 定積分

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + 2 s i n x}{1 + s i n x + c o s x} d x

を求めよ。
(5) 定積分

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{s i n x}{1 + s i n x + c o s x} d x

を求めよ。

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