問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$　$A,B$の2人がサイコロを使って次のようなルールでゲームを行う。
先に1を出した方を勝ちとして終了する。
$(\textrm{i})A$が1回目にサイコロを投げる
$(\textrm{ii})A$がサイコロを投げて1,2以外が出たときは、次の回はBがサイコロを投げる。
$(\textrm{iii})A$がサイコロを投げて1,2以外が出たときは、次の回はBがサイコロを投げる。
$(\textrm{iv})B$がサイコロを投げて1,2,3以外が出たときは、次の回はAがサイコロを投げる。
$(\textrm{v})B$がサイコロを投げて2か3が出たときは、次の回もBがサイコロを投げる。

(1)$k$回目にAがサイコロを投げる確率を$P_k,B$が投げる確率を$Q_k$とする。
$P_{k+1}$を$P_k$と$Q_k$を用いて表せ。

(2)k回目に$A$がサイコロを投げて勝つ確率を$R_k$とする。$R_k$を$k$を用いて表せ。

問題文全文(内容文)：
1⃣　2⃣　3⃣　4⃣　5⃣
の5枚のカードから3枚のカードを並べてできる３ケタの整数で
奇数となる確率は？

東奥義塾高等学校

問題文全文(内容文)：

$\boxed{2}$

$n$を自然数とする。

$1$から$n$ｍでの数字がもれなく一つずつ記入された

$n$枚の赤色のカードと$1$から$n$までの数字がもれなく

一つずつ記入された$n$枚の白色のカードがある。

この$2n$枚のカードの中から同時に$2$枚を取り出し、

カードに記入された数字を確認した後にもとに戻す、

という試行を$2$回行う。次の問いに答えよ。

(1)$1$回目に取り出した$2$枚のカードに記入された

数字が同じであり、かつ$1$回目に取り出した$2$枚の

カードに記入された数字と$2$回目に取り出した$2$枚の

カードに記入された数字の間に共通の数字が

存在しない取り出し方の総数を$n$を用いて表せ。

(2)$1$回目に取り出した$2$枚のカードに記入された

数字が異なり、かつ$1$回目に取り出した$2$枚の

カードに記入された数字と$2$回目に取り出した

$2$枚のカードに記入された数字の間に共通の数字が

存在しない取り出し方の総数を$n$を用いて表せ。

(3)$1$回目に取り出した$2$枚のカードに記入された数字と

$2$回目に取り出した$2$枚のカードに記入された

数字の間に共通の数字が存在する確率を

$n$を用いて表せ。

$2025$年早稲田大学教育学部過去問題

問題文全文(内容文)：
${\large第3問}$
中にくじが入っている箱が複数あり、各箱の外見は同じであるが、当たりくじ
を引く確率は異なっている。くじ引きの結果から、どの箱からくじを引いた可能
性が対価を、条件付き確率を用いて考えよう。

(1)当たりくじを引く確率が$\displaystyle \frac{1}{2}$である箱Aと、当たりくじを引く確率が$\displaystyle \frac{1}{3}$
である箱$B$の二つの箱の場合を考える。

$(\textrm{i})$各箱で、くじを1本引いてはもとに戻す試行を3回繰り返したとき
箱Aにおいて、3回中ちょうど1回当たる確率は$\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ア\ \ }}{\boxed{\ \ イ\ \ }}$　$\cdots$①
箱Bにおいて、3回中ちょうど1回当たる確率は$\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ウ\ \ }}{\boxed{\ \ エ\ \ }}$　$\cdots$②
である。

$(\textrm{ii})$まず、AとBのどちらか一方の箱をでたらめに選ぶ。次にその選んだ箱
において、くじを1本引いてはもとに戻す試行を3回繰り返したところ、3
回中ちょうど1回当たった。このとき、箱Aが選ばれる事象をA、箱Bが
選ばれる事象をB、3回中ちょうど1回当たる事象をWとすると
$P(A \cap W)=\displaystyle \frac{1}{2}×\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ア\ \ }}{\boxed{\ \ イ\ \ }},$$　P(B \cap W)=\displaystyle \frac{1}{2}×\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ウ\ \ }}{\boxed{\ \ エ\ \ }}$
である。$P(W)=P(A \cap W)+P(B \cap W)$であるから。3回中ちょうど1
回当たった時、選んだ箱がAである条件付き確率$P_W(A)$は$\displaystyle \frac{\boxed{\ \ オカ\ \ }}{\boxed{\ \ キク\ \ }}$と
なる。また、条件付き確率は$P_W(B)$は$\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ケコ\ \ }}{\boxed{\ \ サシ\ \ }}$となる。
(2)(1)の$P_W(A)$と$P_W(B)$について、次の事実(*)が成り立つ。

事実(*)
$P_W(A)$と$P_W(B)$の$\boxed{\boxed{\ \ ス\ \ }}$は、①の確率と②の確率の$\boxed{\boxed{\ \ ス\ \ }}$
に等しい。

$\boxed{\boxed{\ \ ス\ \ }}$の解答群
⓪和　①2乗の和　②3乗の和　③比　④積

(3)花子さんと太郎さんは事実(*)について話している。
花子:事実(*)はなぜ成り立つのかな?
太郎:$P_W(A)$と$P_W(B)$を求めるのに必要な$P(A \cap W)$と$P(B \cap W)$
の計算で、①,②の確率に同じ数$\displaystyle \frac{1}{2}$をかけているからだよ。
花子:なるほどね。外見が同じ三つの箱の場合は、同じ数$\displaystyle \frac{1}{3}$をかける
ことになるので、同様のことが成り立ちそうだね。

当たりくじを引く確率が、$\displaystyle \frac{1}{2}$である箱$A$、$\displaystyle \frac{1}{3}$である箱$B$、$\displaystyle \frac{1}{4}$である箱
$C$の三つの箱の場合を考える。まず、$A,B,C$のうちどれか一つの箱
をでたらめに選ぶ。次にその選んだ箱において、くじを1本引いては
もとに戻す試行を3回繰り返したところ、3回中ちょうど1回当たった。
このとき、選んだ箱がAである条件付き確率は$\displaystyle \frac{\boxed{\ \ セソタ\ \ }}{\boxed{\ \ チツテ\ \ }}$となる。

(4)花子:どうやら箱が三つの場合でも、条件付き確率の$\boxed{\boxed{\ \ ス\ \ }}$は各箱で
3回中ちょうど1回当たりくじを引く確率の$\boxed{\boxed{\ \ ス\ \ }}$になっている
みたいだね。
太郎:そうだね。それを利用すると、条件付き確率の値は計算しなくて
も、その大きさを比較することができるね。

当たりくじを引く確率が、$\displaystyle \frac{1}{2}$である箱$A$、$\displaystyle \frac{1}{3}$である箱$B$、$\displaystyle \frac{1}{4}$である箱
$C$、$\displaystyle \frac{1}{5}$である箱$D$の四つの箱の場合を考える。まず、$A,B,C,D$のうち
どれか一つの箱をでたらめに選ぶ。次にその選んだ箱において、くじを
1本引いてはもとに戻す試行を3回繰り返したところ、3回中ちょうど
1回当たった。このとき、条件付き確率を用いて、どの箱からくじを
引いた可能性が高いかを考える。可能性が高い方から順に並べると
$\boxed{\boxed{\ \ ト\ \ }}$となる。
$\boxed{\boxed{\ \ ト\ \ }}$の解答群
⓪$A,B,C,D$
①$A,B,D,C$
②$A,C,B,D$
③$A,C,D,B$
④$A,D,B,C$
⑤$B,A,C,D$
⑥$B,A,D,C$
⑦$B,C,A,D$
⑧$B,C,D,A$

2021共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{I}$　場合の数(7)　円順列
8人を図のように(1)円形のテーブル　(2)正方形のテーブル　(3)長方形のテーブルに並べる方法は
それぞれ何通りあるか。
(※図は動画参照)