ほぼ使わない正二十面体の書き方

問題文全文(内容文)：
正二十面体の書き方動画です

単元： #数A#図形の性質#空間における垂直と平行と多面体（オイラーの法則）#その他#数学(高校生)#その他

指導講師：【楽しい授業動画】あきとんとん

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投稿日：2023.08.05

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指導講師：福田次郎

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4

四面体OABCがあり、辺OA, OB, OCの長さはそれぞれ

\sqrt{13}

, 5, 5である。

\vec{O A}

・

\vec{O B}

\vec{O A}

・

\vec{O C}

=1,　

\vec{O B}

・

\vec{O C}

=-11 とする。頂点Oから

△

ABCを含む平面に下ろした垂線とその平面の交点をHとする。以下の問いに答えよ。
(1)線分ABの長さを求めよ。
(2)実数

s

t

を

\vec{O H}

\vec{O A}

s \vec{A B}

t \vec{A C}

を満たすように定めるとき、

s

と

t

の値を求めよ。
(3)四面体OABCの体積を求めよ。

2023神戸大学理系過去問

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指導講師：福田次郎

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3

座標空間内の原点Oを中心とする半径

r

の球面S上に4つの頂点がある四面体ABCDが

\vec{O A}

\vec{O B}

\vec{O C}

\vec{O D}

\vec{0}

を満たしているとする。また三角形ABCの重心をGとする。
(1)

\vec{O G}

を

\vec{O D}

を用いて表せ。
(2)

\vec{O A}

・

\vec{O B}

\vec{O B}

・

\vec{O C}

\vec{O C}

・

\vec{O A}

を

r

を用いて表せ。
(3)点Pが球面S上を動くとき、

\vec{P A}

・

\vec{P B}

\vec{P B}

・

\vec{P C}

\vec{P C}

・

\vec{P A}

の最大値を

r

を用いて表せ。さらに、最大値をとるときの点Pに対して、|

\vec{P G}

|を

r

を用いて表せ。

2023筑波大学理系過去問

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正十二角形の3つの頂点を結んでできる三角形の個数は

ア

コである。
そのうち
・2辺を共有する三角形は

イ

コ
・1辺を共有する三角形は

ウ

コ
・辺を共有しない三角形は

エ

コ
・直角三角形は

オ

コ
・正三角形は

カ

コ
・二等辺三角形は

キ

コ
ある。
＊図は動画内参照

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問題文全文(内容文)：
どの面も、5,6,7の長さの三角形でできている四面体の体積を求めよ

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指導講師：福田次郎

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3

一辺の長さが6の正四面体ABCDにおいて、点Aから3点B,C,Dを含む平面に垂線AHを下ろす。また、辺ABを1：2に内分する点をP、辺ACを2：1に内分する点をQ、辺ADを

t

：1-

t

に内分する点をRとする。ただし、
0<

t

<1　とする。
(1)AHの長さは

ア \sqrt{イ}

　であり、正四面体ABCDの体積は

ウ エ \sqrt{オ}

　である。
(2)AHと三角形PQRの交点をXとすると、

\vec{A X}

カ \vec{A H}

　である。
(3)三角形PQRの面積は

\sqrt{キ ク t^{2} - ケ コ t + サ シ}

　である。
(4)

t

\frac{1}{2}

　のとき、四面体APQRの体積は

ス \sqrt{セ}

で、点Aから3点P,Q,Rを通る平面に垂線AYを下ろすと、AYの長さは

\frac{ソ \sqrt{タ}}{チ}

　である。

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