福田の数学〜東京大学2023年理系第６問〜線分の先端の可動範囲と関節を加えたときの可動範囲(PART1)

問題文全文(内容文)：

6

Oを原点とする座標空間において、不等式|x|≦1, |y|≦1, |z|≦1の表す立方体を考える。その立方体の表面のうち、z＜1を満たす部分をSとする。
以下、座標空間内の2点A,Bが一致するとき、線分ABは点Aを表すものとし、その長さを0と定める。
(1)座標空間内の点Pが次の条件(i),(ii)をともに満たすとき、点Pが動きうる範囲Vの体積を求めよ。
(i)OP≦

\sqrt{3}

(ii)線分OPとSは、共有点をもたないか、点Pのみを共有点にもつ。
(2)座標空間内の点Nと点Pが次の条件(iii),(iv),(v)をすべて満たすとき、点Pが動きうる範囲Wの体積を求めよ。必要ならば、

\sin α

\frac{1}{\sqrt{3}}

を満たす実数α(0＜α＜

\frac{π}{2}

)を用いてよい。
(iii)ON+NP≦

\sqrt{3}

(iv)線分ONとSは共有点を持たない。
(v)線分NPとSは、共有点を持たないか、点Pのみを共有点を持つ。

2023東京大学理系過去問

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#図形の性質#学校別大学入試過去問解説(数学)#空間における垂直と平行と多面体（オイラーの法則）#東京大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

6

\sqrt{3}

\sin α

\frac{1}{\sqrt{3}}

を満たす実数α(0＜α＜

\frac{π}{2}

)を用いてよい。
(iii)ON+NP≦

\sqrt{3}

(iv)線分ONとSは共有点を持たない。
(v)線分NPとSは、共有点を持たないか、点Pのみを共有点を持つ。

2023東京大学理系過去問

投稿日：2023.03.12

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

一辺の長さが6の正四面体ABCDにおいて、点Aから3点B,C,Dを含む平面に垂線AHを下ろす。また、辺ABを1：2に内分する点をP、辺ACを2：1に内分する点をQ、辺ADを

t

：1-

t

に内分する点をRとする。ただし、
0<

t

<1　とする。
(1)AHの長さは

ア \sqrt{イ}

　であり、正四面体ABCDの体積は

ウ エ \sqrt{オ}

　である。
(2)AHと三角形PQRの交点をXとすると、

\vec{A X}

カ \vec{A H}

　である。
(3)三角形PQRの面積は

\sqrt{キ ク t^{2} - ケ コ t + サ シ}

　である。
(4)

t

\frac{1}{2}

　のとき、四面体APQRの体積は

ス \sqrt{セ}

で、点Aから3点P,Q,Rを通る平面に垂線AYを下ろすと、AYの長さは

\frac{ソ \sqrt{タ}}{チ}

　である。

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これなに？

単元： #数A#図形の性質#空間における垂直と平行と多面体（オイラーの法則）

指導講師：【楽しい授業動画】あきとんとん

問題文全文(内容文)：
オイラーの多面体定理解説動画です

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
座標空間において、2つの円

C_{1}, C_{2}

を

C_{1} = {(x, y, 0) | x^{2} + y^{2} = 1}, C_{2} = {(0, y, z) | (y - 1)^{2} + z^{2} = 1}

とする。次の設問に答えよ。
(1)

C_{1}

上の2点と

C_{2}

上の点(0,1,1)を頂点とする正三角形を考える。
このような正三角形の一辺の長さをすべて求めよ。
(2)すべての頂点がC_1∪C_2上にある正四面体を考える。
このような正四面体の一辺の長さをすべて求めよ。

2022早稲田大学商学部過去問

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福田の数学〜上智大学2023年理工学部第1問(3)〜正四面体を切った断面

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(3)一辺の長さが2である正四面体OABCにおいて、辺OAの中点をM、辺BCの中点をNとする。
(i)線分MNの長さは

あ

である。
(ii)0＜

s

＜1とし、線分MNを

s

：

(1 - s)

に内分する点をPとする。Pを通りMNに垂直な平面で四面体OABCを切った断面は

い

であり、その面積は

う

である。

あ

の選択肢
(a)1　(b)

\sqrt{2}

　(c)

\sqrt{3}

　(d)2　(e)

\frac{1 + \sqrt{5}}{2}

　(f)

\frac{\sqrt{6}}{2}

い

の選択肢
(a)正三角形　(b)正三角形でない二等辺三角形　(c)二等辺三角形でない三角形　(d)長方形　(e)長方形でない平行四辺形　(f)平行四辺形でない四角形

う

の選択肢
(a)

s^{2}

　(b)

(1 - s)^{2}

　(c)

s (1 - s)

　(d)

s \sqrt{1 - s^{2}}

　
(e)

2 s^{2}

　(f)

2 (1 - s)^{2}

　(g)

2 s (1 - s)

　(h)

2 s \sqrt{1 - s^{2}}

　
(i)

4 s^{2}

　(j)

4 (1 - s)^{2}

　(k)

4 s (1 - s)

　(l)

4 s \sqrt{1 - s^{2}}

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指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
オイラーの公式　説明動画です

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