福田の数学〜上智大学2023年理工学部第1問(3)〜正四面体を切った断面 - 質問解決D.B.(データベース)

福田の数学〜上智大学2023年理工学部第1問(3)〜正四面体を切った断面

問題文全文(内容文):
$\Large{\boxed{1}}$ (3)一辺の長さが2である正四面体OABCにおいて、辺OAの中点をM、辺BCの中点をNとする。
(i)線分MNの長さは$\boxed{\ \ あ\ \ }$である。
(ii)0<$s$<1とし、線分MNを$s$:$(1-s)$に内分する点をPとする。Pを通りMNに垂直な平面で四面体OABCを切った断面は$\boxed{\ \ い\ \ }$であり、その面積は$\boxed{\ \ う\ \ }$である。

$\boxed{\ \ あ\ \ }$の選択肢
(a)1 (b)$\sqrt 2$ (c)$\sqrt 3$ (d)2 (e)$\frac{1+\sqrt 5}{2}$ (f)$\frac{\sqrt 6}{2}$

$\boxed{\ \ い\ \ }$の選択肢
(a)正三角形 (b)正三角形でない二等辺三角形 (c)二等辺三角形でない三角形 (d)長方形 (e)長方形でない平行四辺形 (f)平行四辺形でない四角形

$\boxed{\ \ う\ \ }$の選択肢
(a)$s^2$ (b)$(1-s)^2$ (c)$s(1-s)$ (d)$s\sqrt{1-s^2}$ 
(e)$2s^2$ (f)$2(1-s)^2$ (g)$2s(1-s)$ (h)$2s\sqrt{1-s^2}$ 
(i)$4s^2$ (j)$4(1-s)^2$ (k)$4s(1-s)$ (l)$4s\sqrt{1-s^2}$ 
単元: #数A#大学入試過去問(数学)#図形の性質#学校別大学入試過去問解説(数学)#空間における垂直と平行と多面体(オイラーの法則)#上智大学#数学(高校生)
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
$\Large{\boxed{1}}$ (3)一辺の長さが2である正四面体OABCにおいて、辺OAの中点をM、辺BCの中点をNとする。
(i)線分MNの長さは$\boxed{\ \ あ\ \ }$である。
(ii)0<$s$<1とし、線分MNを$s$:$(1-s)$に内分する点をPとする。Pを通りMNに垂直な平面で四面体OABCを切った断面は$\boxed{\ \ い\ \ }$であり、その面積は$\boxed{\ \ う\ \ }$である。

$\boxed{\ \ あ\ \ }$の選択肢
(a)1 (b)$\sqrt 2$ (c)$\sqrt 3$ (d)2 (e)$\frac{1+\sqrt 5}{2}$ (f)$\frac{\sqrt 6}{2}$

$\boxed{\ \ い\ \ }$の選択肢
(a)正三角形 (b)正三角形でない二等辺三角形 (c)二等辺三角形でない三角形 (d)長方形 (e)長方形でない平行四辺形 (f)平行四辺形でない四角形

$\boxed{\ \ う\ \ }$の選択肢
(a)$s^2$ (b)$(1-s)^2$ (c)$s(1-s)$ (d)$s\sqrt{1-s^2}$ 
(e)$2s^2$ (f)$2(1-s)^2$ (g)$2s(1-s)$ (h)$2s\sqrt{1-s^2}$ 
(i)$4s^2$ (j)$4(1-s)^2$ (k)$4s(1-s)$ (l)$4s\sqrt{1-s^2}$ 
投稿日:2023.09.23

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指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
${\large\boxed{4}}$一辺の長さが$\sqrt3+1$である正八面体の頂点を右図(※動画参照)
のように$P_1,P_2,P_3,P_4,P_5,P_6$とする。$i=1,2,\ldots,6$に対して
$P_i$以外の5点を頂点とする四角錐のすべての面に
内接する球(内部含む)を$B_i$とする。$B_1$の体積をXとし、$B_1$と
$B_2$の共通部分の体積をYとし、$B_1,B_2,B_3$の共通部分の体積をZ
とする。さらに$B_1,B_2,\ldots,B_n$を合わせて得られる立体の体積を
$V_n\ \ (n=2,3,\ldots,6)$とする。以下の問いに答えよ。
(1)$V_n=aX+bY+cZ$となる整数a,b,cを$n=2,3,6$の場合
について求めよ。
(2)Xの値を求めよ。
(3)$V_2$の値を求めよ。

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問題文全文(内容文):
$OA = 3,OC=2$である長方形$OABC$がある。
辺$OA$を$1:2$に内分する点を$D$,辺$AB$を$3:1$に内分する点を$E$とあるとき、
$CD \perp OE$であることを証明せよ。

*図は動画内参照
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指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
(7)1辺の長さが$\sqrt2$の正三角形を底面とし、高さが4の直三角柱を考える。
この直三角柱を以下の条件①と条件②を共に満たす平面で切断するとき、切断面の
面積の最小値は$\boxed{\ \ シ\ \ }$である。ただし、直三角柱は底面と側面が垂直である三角柱
のことである。
条件① 切断面が直角三角形になる。
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*図は動画内参照
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