福田の数学〜名古屋大学2024年理系第1問〜接線の本数と整数解

問題文全文(内容文)：

1

関数

f (x)

\sqrt{x}

\frac{2}{\sqrt{x}}

　(

x

>0)に対して、

y

f (x)

のグラフを

C

とする。
(1)

f (x)

の極値を求めよ。
(2)

x

軸上の点P(

t

, 0)から

C

にちょうど2本の接線を引くことができるとする。
そのような実数

t

の値の範囲を求めよ。
(3)(2)において、

C

の2つの接点の

x

座標を

α

β

(

α

β

)とする。

α

β

がともに整数であるような組(

α

β

)をすべて求めよ。

単元： #微分とその応用#接線と法線・平均値の定理#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

関数

f (x)

\sqrt{x}

\frac{2}{\sqrt{x}}

　(

x

>0)に対して、

y

f (x)

のグラフを

C

とする。
(1)

f (x)

の極値を求めよ。
(2)

x

軸上の点P(

t

, 0)から

C

にちょうど2本の接線を引くことができるとする。
そのような実数

t

の値の範囲を求めよ。
(3)(2)において、

C

の2つの接点の

x

座標を

α

β

(

α

β

)とする。

α

β

がともに整数であるような組(

α

β

)をすべて求めよ。

投稿日：2024.05.24

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【数Ⅲ】東大の文系の問題を微分で解いてみた【東京大学】【数学入試問題】

単元： #大学入試過去問(数学)#微分とその応用#微分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：数学・算数の楽しさを思い出した / Ken

問題文全文(内容文)：
kを正の実数とし,二次方程式

x^{2} + x - k = 0

の二つの実数解を、

α, β

とする。

k が k ＞ 2

の範囲を動くとき,

\frac{α^{3}}{1 - β} + \frac{β^{3}}{1 - α}

の最小値を求めよ。

東大過去問

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大学入試問題#423「よくみる問題？」　自治医科大学(2020)　#面積

単元： #微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\sqrt{\frac{x}{6}} + \sqrt{\frac{y}{4}} = 1

と

x

軸、

y

軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

出典：2020年自治医科大学　入試問題

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【数Ⅲ-158】定積分で表された関数①

単元： #微分とその応用#積分とその応用#微分法#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：とある男が授業をしてみた

問題文全文(内容文)：
数Ⅲ(定積分で表された関数①)
Q.次の関数を

x

について微分せよ。ただし

a

は定数とする。

①

\int_{a}^{x} \frac{t}{1 + e^{2 t}} d t

➁

\int_{0}^{x} (x - t) e^{2 t} d t

③

\int_{0}^{2 x + 1} \frac{1}{t^{2} + 1} d t

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【数Ⅲ-131】いろいろな量の変化率

単元： #微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：とある男が授業をしてみた

問題文全文(内容文)：
数Ⅲ(いろいろな量の変化率)

①毎秒

3 c m^{2}

の割合で表面積が増加している球がある。
この球の半径が

4 c m

になった瞬間における体積の変化率を求めよ。

②右の図のような直円錐の容器に、毎秒

3 c m^{3}

の割合で水を注ぐ。
水面の高さが

6 c m

になったときの水面の上昇する速度を求めよ。

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京都大　３次関数　整数問題

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

f (x) = x^{3} + 2 x^{2} + 2

| f (n)

と

| f (n + 1) |

がともに素数となるような整数

n

を求めよ

出典：2019年京都大学　過去問

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 福田の数学〜名古屋大学2024年理系第1問〜接線の本数と整数解

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