【数Ⅲ】【積分とその応用】面積14 ※問題文は概要欄

問題文全文(内容文)：

1 ≦ a ≦ e

とする。曲線

y = e^{x} - a

と

x

軸、

y

軸および直線

x = 1

で囲まれた部分の面積を

S (a)

とする。
(1)

S (a)

を求めよ。
(2)

S (a)

の最小値とそのときの

a

の値を求めよ。

チャプター：

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0:05 (1)解説
1:57 (2)解説
3:29 エンディング

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：

1 ≦ a ≦ e

とする。曲線

y = e^{x} - a

と

x

軸、

y

軸および直線

x = 1

で囲まれた部分の面積を

S (a)

とする。
(1)

S (a)

を求めよ。
(2)

S (a)

の最小値とそのときの

a

の値を求めよ。

投稿日：2025.03.27

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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{0}^{1} {x (1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x

出典：2010年弘前大学　入試問題

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

6

直線

x + y = 1

に接する楕円

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

がある。
このとき、

b^{2} = ア a^{2} + イ

である。
この楕円を直線

y = b

のまわりに1回転してできる立体の体積は、

a = \frac{\sqrt{ウ}}{エ}

のとき、
最大値

\frac{オ \sqrt{カ}}{キ} π^{2}

をとる。

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
座標平面において、原点を極とし、x軸の正の部分を始線とする極座標を考え
る。平面上を運動する点Pの極座標

(r, θ)

が、時刻

t ≧ 0

の関数として、

r = 1 + t, θ = \log (1 + t)

で与えられるとする。時刻

t = 0

にPが出発してから初めてy軸上に到着するまで
にPが描く軌跡をCとする。
(1)

t > 0

において、Pが初めてy軸上に到着するときのtの値を求めよ。
(2)C上の点のx座標の最大値を求めよ。
(3)Cの長さを求めよ。
(4)Cを座標平面上に図示せよ。
(5)Cとx軸とy軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

2022上智大学理系過去問

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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{1}^{2} x \sqrt{2 - x} d x

を求めよ。

出典：2020年広島市立大学　入試問題

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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{e}^{e^{e}} \frac{l o g (l o g x)}{x l o g x} d x

を計算せよ。

出典：2006年慶應義塾大学　入試問題

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