福田の数学〜早稲田大学2022年理工学部第５問〜対数関数の極限と変曲点とグラフの接線

問題文全文(内容文)：

5 a > 0

を定数とし、

f (x) = x^{a} \log x

とする。以下の問いに答えよ。
(1)

lim_{x \to + 0} f (x)

を求めよ。必要ならば

lim_{s \to \infty} s e^{- s} = 0

が成り立つことは
証明なしに用いてよい。
(2)曲線

y = f (x)

の変曲点がx軸上に存在するときのaの値を求めよ。
さらにそのとき

y = f (x)

のグラフの概形を描け。
(3)

t > 0

に対して、曲線

y = f (x)

上の点(t,f(t))における接線をlとする。
lがy軸の負の部分と交わるための

(a, t)

の条件を求め、その条件の表す領域を
a-t平面上に図示せよ。

2022早稲田大学人間科学部過去問

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#微分とその応用#関数の極限#微分法#接線と法線・平均値の定理#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5 a > 0

を定数とし、

f (x) = x^{a} \log x

とする。以下の問いに答えよ。
(1)

lim_{x \to + 0} f (x)

を求めよ。必要ならば

lim_{s \to \infty} s e^{- s} = 0

が成り立つことは
証明なしに用いてよい。
(2)曲線

y = f (x)

の変曲点がx軸上に存在するときのaの値を求めよ。
さらにそのとき

y = f (x)

のグラフの概形を描け。
(3)

t > 0

に対して、曲線

y = f (x)

上の点(t,f(t))における接線をlとする。
lがy軸の負の部分と交わるための

(a, t)

の条件を求め、その条件の表す領域を
a-t平面上に図示せよ。

2022早稲田大学人間科学部過去問

投稿日：2022.07.29

＜関連動画＞

東大入試問題　無限級数　数列の和 Japanese university entrance exam questions Tokyo University

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
東京大学過去問題
無限級数

\frac{r}{1 - r^{2}}

\frac{r^{2}}{1 - r^{4}}

\frac{r^{4}}{1 - r^{8}}

\dots

\frac{r^{2^{n - 1}}}{1 - r^{2^{n}}}

この動画を見る　

福田のおもしろ数学158〜無理不等式と同値変形

単元： #関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
不等式

\sqrt{2 x + 1}

≧

x

－1　...(＊)を
(1)同値変形することで解け。　(2)グラフを利用して解け。

この動画を見る　

福田の数学〜上智大学2023年理工学部第2問〜逆関数の微分積分

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#積分とその応用#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

関数

f (x)

\sin x

(0 ≦ x ≦ \frac{π}{2})

の逆関数を

g (x)

とする。
(1)関数

g (x)

の定義域は

え

である。
(2)

y

g (x)

の

x

\frac{4}{5}

における接線の傾きは

\frac{オ}{カ}

である。
(3)

\int_{0}^{\frac{1}{2}} g (x) d x

\frac{π}{キ}

ク

\frac{ケ}{コ} \sqrt{サ}

である。
(4)

y

g (x)

のグラフと

x

=1および

x

軸で囲まれた図形を

x

軸のまわりに1回転させてできる立体の体積は

\frac{π^{a}}{シ}

ス π

　ただし

a

セ

である。

この動画を見る　

関西医科大学　#極限　#Shorts

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#関西医科大学

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

lim_{x \to π} \frac{\sin x}{x^{2} - π^{2}}

を求めよ

出典：関西医科大学

この動画を見る　

数学「大学入試良問集」【17−3② 解けない漸化式とはさみうちの原理】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#群馬大学#数Ⅲ

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：

a_{1} = 2, a_{n + 1} = \frac{4 a_{n}^{2} + 9}{8 a_{n}} (n = 1, 2, 3, ・ ・ ・)

で定義される数列

{a_{n}}

について以下の問いに答えよ。
（1）

a_{n} > \frac{3}{2} (n = 1, 2, 3, ・ ・ ・)

を証明せよ。
（2）

a_{n + 1} - \frac{3}{2} < \frac{1}{3} {[a_{n} - \frac{3}{2}]}^{2} (n = 1, 2, 3, ・ ・ ・)

を証明せよ。
（3）

lim_{n \to \infty} a_{n}

を求めよ。

この動画を見る　

<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 福田の数学〜早稲田大学2022年理工学部第５問〜対数関数の極限と変曲点とグラフの接線

＜関連動画＞

東大入試問題 無限級数 数列の和 Japanese university entrance exam questions Tokyo University

福田のおもしろ数学158〜無理不等式と同値変形

福田の数学〜上智大学2023年理工学部第2問〜逆関数の微分積分

関西医科大学 #極限 #Shorts

数学「大学入試良問集」【17−3② 解けない漸化式とはさみうちの原理】を宇宙一わかりやすく