問題文全文(内容文)：
実数$x$に対し,$x$を超えない最大の整数を$\lbrack x \rbrack$で表す。数列{$a_k$}を

$a_k=2^{[\sqrt{k}]}$ $(k=1,2,3,･･･)

で定義する。正の整数$n$に対して

$b_n$=$\displaystyle \sum_{k=1}^n^{2} a_k$ を求めよ。

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\large第4問}\\
初項3、交差pの等差数列を\left\{a_n\right\}とし、初項3、公比rの等比数列を\left\{b_n\right\}と\\
する。ただし、p \ne 0かつr \ne 0とする。さらに、これらの数列が次を満たすとする。\\
a_nb_{n+1}-2a_{n+1}b_n+3b_{n+1}=0　(n=1,2,3,\ldots)\cdots①\\
\\
(1)pとrの値を求めよう。自然数nについて、a_n,a_{n+1},b_nはそれぞれ\\
a_n=\boxed{\ \ ア\ \ }+(n-1)p　\cdots②\\
a_{n+1}=\boxed{\ \ ア\ \ }+np　\cdots③\\
b_n=\boxed{\ \ イ\ \ }r^{n-1}\\
と表される。r \ne 0により、すべての自然数nについて、b_n \ne 0となる。\\
\frac{b_{n+1}}{b_n}=rであることから、①の両辺をb_nで割ることにより\\
\boxed{\ \ ウ\ \ }a_{n+1}=r\left(a_n+\boxed{\ \ エ\ \ }\right)　\cdots④\\
が成り立つことが分かる。④に②と③を代入すると\\
\left(r-\boxed{\ \ オ\ \ }\right)pn=r\left(p-\boxed{\ \ カ\ \ }\right)+\boxed{\ \ キ\ \ }　\cdots⑤\\
となる。⑤が全てのnで成り立つことおよびp \ne 0により、r=\boxed{\ \ オ\ \ }を得る。\\
さらに、このことから、p=\boxed{\ \ ク\ \ }を得る。\\
以上から、すべての自然数nについて、a_nとb_nが正であることもわかる。\\
\\
(2)p=\boxed{\ \ ク\ \ },　r=\boxed{\ \ オ\ \ }であるから、\left\{a_n\right\},　\left\{b_n\right\}の初項から第n項\\
までの和は、それぞれ次の式で与えられる。\\
\sum_{k=1}^na_k=\frac{\boxed{\ \ ケ\ \ }}{\boxed{\ \ コ\ \ }}n\left(n+\boxed{\ \ サ\ \ }\right)\\
\sum_{k=1}^nb_k=\boxed{\ \ シ\ \ }\left(\boxed{\ \ オ\ \ }^n-\boxed{\ \ ス\ \ }\right)\\
\\
(3)数列\left\{a_n\right\}に対して、初項3の数列\left\{c_n\right\}が次を満たすとする。\\
a_nc_{n+1}-4a_{n+1}c_n+3c_{n+1}=0　(n=1,2,3,\ldots)\cdots⑥\\
a_nが正であることから、⑥を変形して、c_{n+1}=\frac{\boxed{\ \ セ\ \ }a_{n+1}}{a_n+\boxed{\ \ ソ\ \ }}c_nを得る。\\
さらに、p=\boxed{\ \ ク\ \ }であることから、数列\left\{c_n\right\}は\boxed{\boxed{\ \ タ\ \ }}ことがわかる。\\
\\
\boxed{\boxed{\ \ タ\ \ }}の解答群\\
⓪すべての項が同じ値をとる数列である\\
①公差が0でない等差数列である\\
②公比が1より大きい等比数列である\\
③公比が1より小さい等比数列である\\
④等差数列でも等比数列でもない\\
\\
(4)q,uは定数でq \ne 0とする。数列\left\{b_n\right\}に対して、初項3の数列\left\{d_n\right\}が\\
次を満たすとする。\\
d_nb_{n+1}-qd_{n+1}b_n+ub_{n+1}=0　(n=1,2,3,\ldots)\cdots⑦\\
r=\boxed{\ \ オ\ \ }であることから、⑦を変形して、d_{n+1}=\frac{\boxed{\ \ チ\ \ }}{q}(d_n+u)\\
を得る。したがって、数列\left\{d_n\right\}が、公比が0より大きく1より小さい\\
等比数列となるための必要十分条件は、q \gt \boxed{\ \ ツ\ \ }かつu=\boxed{\ \ テ\ \ }\\
である。\\
\end{eqnarray}

問題文全文(内容文)：
数列1,2,3, …,m(mは自然数)において、相異なる2数の積の総和を求めよ。

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}}\ 次の問題\hspace{310pt}\\
問題\\
表面と裏面が出る確率がそれぞれであるコインを投げる試行を繰り返し、同\\
じ面が3回連続して出た時点で試行を終了する。n回投げ終えた段階で試行が\\
終了する確率 p_nを求めよ。\\
に対する次の答案Aについて以下の問いに答えよ。\\
(1) もし答案Aに誤りがあれば誤りを指摘し、その理由を述べよ。ただし、すでに\\
指摘してある誤った結論から論理的に導き出した結論を誤りとして指摘する必要\\
はない。誤りがないときは「誤りなし」と答えよ。\\
(2) 答案Aで導かれたp_nと正解のp_nとで値が異なるとき、値が異なる最小のnを\\
求め、そのnに対する正解のpnの値を答えよ。そのようなnがないときは\\
「すべて一致する」と答えよ。\\
\\
答案A\\
自然数nに対して、コインをn回投げ終えた段階で、その後最短で試行が終了するために\\
必要な回数がk回(k \geqq 0)である確率をp_n(k)とする。このとき、\\
kは0,1,2のいずれかであるから、確率の総和は\\
p_n(0)+p_n(1)+p_n(2)=1\\
である。また、p_n(0)=p_n,p_{n+1}(0)=\frac{1}{2}p_n(1),p_{n+2}(0)=\frac{1}{4}p_n(2)　であるから漸化式\\
p_n+2p_{n+1}+4p_{n+2}=1　(n \geqq 1)\\
を得る。ここで\frac{1}{7}+\frac{2}{7}+\frac{4}{7}=1なので、q_n=2^n(p_n-\frac{1}{7})とすれば\\
q_n+q_{n+1}+q_{n+2}=0\\
である。よってn \geqq 4に対して\\
q_n=-q_{n-1}-q_{n-2}=(q_{n-2}+q_{n-3})-q_{n-2}=q_{n-3}\\
が成立する。以上より、\\
Q(x)=
\left\{
\begin{array}{1}q_1　(nを3で割った時の余りが1のとき)\\
q_2　(nを3で割った時の余りが2のとき)\\
q_3　　　　　　(nが3で割り切れるとき)\\
\end{array}
\right.\\
\\
とすれば求める確率は\\
p_n=\frac{q_n}{2^n}+\frac{1}{7}=\frac{Q(n)}{2^n}+\frac{1}{7}　(n \geqq 4)\\
である。また最初の2項は定義よりp_1=p_2=0でありp_nの漸化式でn=1とすれば\\
p_1+2p_2+4p_3=1　であるからp_3=\frac{1}{4}である。さらに\\
q_1=-\frac{2}{7},　q_2=-\frac{4}{7},　q_3=\frac{6}{7}\\
\\
である。したがって\\
p_1=p_2=0,　p_3=\frac{1}{4},　p_n=\frac{Q(n)}{2^n}+\frac{1}{7}　(n \geqq 4)\\
となる。
\end{eqnarray}

問題文全文(内容文)：
上智大学過去問題
$a_1 =0,b_1=6$
$a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}$,$b_{n+1}=a_n$
点Pの$(a_n,b_n)$はある直線上にある。その式は？
$n \to \infty$のときの$P_n$