数列とその和（等差・等比・階差・Σ）

【数B】【数列】その他の数列3 ※問題文は概要欄

単元： #数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
数列1,2,3,……,nにおいて、次の積の和を求めよ。
（１）異なる2つの項の積の和（n≧2）
（２）互いに隣合わない異なる2つの項の積の和（n≧3）

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【数B】【数列】その他の数列2 ※問題文は概要欄

単元： #数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の和

S

を求めよ。

(1) S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 5 + \dots + n \cdot 5^{n - 1}

(2) S = 1 + 4 x + 7 x^{2} + \dots + (3 n - 2) x^{n - 1}

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【数B】【数列】その他の数列1 ※問題文は概要欄

単元： #数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
数列

{a_{n}}

が

a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \dots + n a_{n} = n (n + 1)

を満たすとき、和

a_{1} + a_{2} + \dots a_{n}

を求めよ。

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【数B】【数列】群数列 ※問題文は概要欄

単元： #数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
問題１
自然数の列を、次のように1個、2個、4個、8個、……、2^(n-1)個、……の群に分ける。
1 | 2, 3 | 4, 5, 6, 7 | 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 | 16, ……
（１）第n群の最初の自然数を求めよ。
（２）500は第何群の第何項か。
（３）第n群にあるすべての自然数の和を求めよ。

問題２
数列1, 1, 4, 1, 4, 9, 1, 4, 9, 16, 1, 4, 9, 16, 25, 1,……がある。
（１）nを自然数としたとき、自然数n²が初めて現れるのは第何項か。
（２）第100項を求めよ。
（３）初項から第100項までの和を求めよ。

問題３
数列
(1/2), (1/3), (2/3), (1/4), (2/4), (3/4), (1/5), (2/5), (3/5), (4/5), (1/6), ……
において、初項から第800項までの和を求めよ。

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大学入試問題#923「帰納法で解いても良いのかな」

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学的帰納法#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)#数B

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

a_{1} = 1,

a_{n} \neq 0

a_{n} = 3 (\sqrt{S_{n}} - \sqrt{S_{n - 1}}), 2 \leq n

1.

a_{2}

を求めよ。
2.

\sqrt{S_{n}}

を求めよ。
3.

a_{n}

を求めよ。

出典：1999年　千葉大学

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百マス計算全部出したらなんぼ？

単元： #数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B

指導講師：【楽しい授業動画】あきとんとん

問題文全文(内容文)：
「百マス計算全部出したらいくつか」について解説しています。

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2025年度入試に出るかも？～答えが2025になる計算問題～

単元： #数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B

指導講師：【楽しい授業動画】あきとんとん

問題文全文(内容文)：
2025年度入試に出るかも？
「答えが2025になる計算問題」について解説しています。
※問題文は動画内参照

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大学入試問題#895「2番だけで良い大問」　#福井大学医学部(2015)　#数列

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#福井大学#数B

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

a_{1} = 2

3 a_{n + 1} - 4 a_{n} + 1 = 0

１．数列{

a_{n}

}の一般項を求めよ。

２．

\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}

の小数部分を

b_{n}

とし、数列{

b_{n}

}の一般項を求めよ。

３．

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{b_{k}}

を求めよ。

出典：2015年福井大学医学部

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これ解ける？

単元： #算数(中学受験)#計算と数の性質#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#規則性（周期算・方陣算・数列・日暦算・N進法）#数学(高校生)#数B

指導講師：【楽しい授業動画】あきとんとん

問題文全文(内容文)：
これ解ける？
※問題文は動画内参照

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福田の数学〜慶應義塾大学2024年経済学部第3問〜指数関数で定義された数列の漸化式

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#指数関数#対数関数#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

実数

a

に対して

f (a)

=

\frac{1}{2} (2^{a} - 2^{- a})

とおく。また、

A

=

2^{a}

とする。
(1)等式

{(A - \frac{1}{A})}^{3}

=

ア {(A - \frac{1}{A})}^{3}

－

イ (A - \frac{1}{A})

　より、実数

a

に対して

{f (a)}^{3}

=

\frac{ウ}{エ} f (3 a)

－

\frac{オ}{カ} f (a)

　...①が成り立つ。
(2)実数

a

,

b

に対して

f (a)

=

b

が成り立つならば、

A

=

2^{a}

は2次方程式

A^{2}

－

キ b A

－

ク

=0
を満たす。

2^{a}

>0より、

a

は

b

を用いて

a

=

\log_{2} (ケ b + \sqrt{b^{2} + コ})

　...②
と表せる。つまり、任意の実数bに対して

f (a)

=

b

となる実数

a

が、ただ1つに定まる。
以下、数列

{a_{n}}

に対して

f (a_{n})

=

b_{n}

　(

n

=1,2,3,...)で定まる数列

{b_{n}}

が、関係式

4 b_{n + 1}^{3}

+

3 b_{n + 1}

－

b_{n}

=0　(

n

=1,2,3,...)　...③
を満たすとする。
(3)①と③から

f (サ a_{n + 1})

=

f (a_{n})

　(

n

=1,2,3,...)となるので、(2)より、

a_{n}

=

\frac{a_{1}}{シ^{n - p}}

　(

n

=1,2,3,...)が得られる。ここで、

p

=

ス

である。
(4)

n

≧2に対して、

S_{n}

=

\sum_{k = 2}^{n} 3^{k - 1} b_{k}^{3}

　とおく。

c_{n}

=

3^{n} b_{n}

　(

n

=1,2,3,...)で定まる数列

{c_{n}}

の階差数列を用いると、③より、

S_{n}

=

\frac{セ}{ソ} b_{1}

－

\frac{タ^{n}}{チ} b_{n}

　(

n

=2,3,4,...)
となる。ゆえに、

b_{1}

=

\frac{4}{3} S_{5}

－108　が成り立つならば

a_{1}

=

ツ テ ト \log_{2} ナ

　である。

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大学入試問題#862「計算力と根性！」　#京都大学(2023)　#数列

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)#数B

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\begin{array}{r} {\begin{cases} a_{1} = 3 \\ a_{n} = \frac{S_{n}}{n} + (n - 1) ・ 2^{n} \end{cases} \end{array}

を満たすような数列

{a_{n}}

の一般項を求めよ

出典：2023年京都大学　入試問題

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288 数列の100以下の項を足し合わせる：漸化式とΣの面倒な問題もプログラムで楽々解決！ #shorts

単元： #情報Ⅰ(高校生)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#漸化式#数学(高校生)#プログラミング#プログラムによる動的シミュレーション#数B

指導講師：めいちゃんねる

問題文全文(内容文)：
288 数列の100以下の項を足し合わせる：漸化式とΣの面倒な問題もプログラムで楽々解決！ #shorts
【問題文】次のプログラムの実行結果を答えよ。
※プログラムは動画内参照

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福田の数学〜神戸大学2024年理系第1問〜無理関数を利用して定義された数列の一般項

単元： #数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#漸化式#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#神戸大学#数学(高校生)#数B#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

c

を正の実数とする。各項が正である数列

{a_{n}}

を次のように定める。

a_{1}

は関数

y

=

x

+

\sqrt{c - x^{2}}

　(0≦

x

≦

\sqrt{c}

)
が最大値をとるときの

x

の値とする。

a_{n + 1}

は関数

y

=

x

+

\sqrt{a_{n} - x^{2}}

　(0≦

x

≦

\sqrt{a_{n}}

)
が最大値をとるときの

x

の値とする。数列

{b_{n}}

を

b_{n}

=

\log_{2} a_{n}

　で定める。以下の問いに答えよ。
(1)

a_{1}

を

c

を用いて表せ。
(2)

b_{n + 1}

を

b_{n}

を用いて表せ。
(3)数列

{b_{n}}

の一般項を

n

と

c

を用いて表せ。

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福田の数学〜大阪大学2024年文系第3問〜素数を小さい順に並べた数列の特徴

単元： #数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#大阪大学#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

素数を小さい順に並べて得られる数列を

p_{1}

,

p_{2}

, ...,

p_{n}

, ...
とする。
(1)

p_{15}

の値を求めよ。
(2)

n

≧12のとき、不等式

p_{n}

>

3 n

が成り立つことを示せ。

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福田のおもしろ数学138〜シグマ計算

単元： #数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

\sum_{k = 1}^{n} k (k!)

　を求めよ。

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福田の数学〜一橋大学2024年文系第1問〜シグマが2024になるような2変数の値

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#学校別大学入試過去問解説(数学)#一橋大学#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

\sum_{k = 1}^{m} k (n - 2 k)

=2024 を満たす正の整数の組(

m

,

n

)を求めよ。

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福田の数学〜東北大学2024年文系第4問〜連立漸化式と不定方程式の整数解

単元： #数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

n

を正の整数とする。2つの整数

a_{n}

,

b_{n}

を条件

(1 + \sqrt{2})^{n}

=

a_{n}

+

b_{n} \sqrt{2}

により定める。ここで

\sqrt{2}

は無理数なので、このような整数の組(

a_{n}

,

b_{n}

)はただ1つに定まる。
(1)

a_{n + 1}

,

b_{n + 1}

を

a_{n}

,

b_{n}

を用いてそれぞれ表せ。さらに

b_{4}

,

b_{5}

,

b_{6}

の値をそれぞれ求めよ。
(2)等式

(1 - \sqrt{2})^{n}

=

a_{n}

－

b_{n} \sqrt{2}

が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ。
(3)

n

≧2 のとき、

b_{n + 1} b_{n - 1}

－

b_{n}^{2}

を求めよ。
(4)

p b_{6}

－

q b_{5}

=1, 0≦

p

≦100, 0≦

q

≦100 をすべて満たす整数

p

,

q

の組(

p

,

q

)を1組求めよ。

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福田の数学〜慶應義塾大学2024年看護医療学部第3問〜群数列

単元： #数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

数列

\frac{0}{1}

,

\frac{1}{1}

,

\frac{0}{2}

,

\frac{1}{2}

,

\frac{2}{2}

,

\frac{0}{3}

,

\frac{1}{3}

,

\frac{2}{3}

,

\frac{3}{3}

,

\frac{0}{4}

,

\frac{1}{4}

,

\frac{2}{4}

,

\frac{3}{4}

,

\frac{4}{4}

,

\frac{0}{5}

, ...
の第

n

項を

a_{n}

とする。
(1)約分することで

a_{n}

=1 を満たす自然数

n

のうち、

k

番目に小さいものを

N_{k}

で表す。例えば、

N_{1}

=2,

N_{2}

=5 である。また、自然数

k

に対して、

N_{k}

を

k

を用いて表すと

N_{k}

=

セ

である。また、自然数

k

に対して、数列

{a_{n}}

の初項から第

N_{k}

項までの和を

k

を用いて表すと

ソ

である。
(2)約分することで

a_{n}

=

\frac{1}{4}

を満たす自然数

n

のうち、

k

番目に小さいものを

M_{k}

で表す。例えば

M_{1}

=11,

M_{2}

=

タ

である。このとき、自然数

k

に対して、

M_{k}

を

k

を用いて表すと

M_{k}

=

チ

である。
(3)

a_{200}

を約分した形で表すと

a_{200}

=

ツ

である。また数列

{a_{n}}

の初項から第200項までの和は

テ

である。

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福田のおもしろ数学095〜素数が並ぶ数列

単元： #数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
次の数列は全ての項が素数であるかどうか調べよ。
17, 19, 23, 29, 37, 47, 59, 73, 89, ...

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福田の数学〜慶應義塾大学2024年薬学部第1問(1)〜等差数列と等比中項

単元： #数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(1)

n

を自然数とする。数列

{a_{n}}

は初項が25, 公差が0でない等差数列であり、3つの項

a_{8}

,

a_{9}

,

a_{10}

を

a_{9}

,

a_{10}

,

a_{8}

の順に並べると等比数列になる。この数列の初項から第

n

項までの和を

S_{n}

とする。
(i)一般項

a_{n}

を

n

の式で表すと

a_{n}

=

ア

である。
(ii)不等式

S_{n}

＜0 を満たす最小の

n

の値は

イ

である。

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難解な数列の問題　By 英語orドイツ語シはBかHかさん

単元： #数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

a_{0} = b_{0} = 1

a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{a_{n}^{2} + b_{n}^{2}}

b_{n + 1} = 2 - \frac{b_{n}}{a_{n}^{2} + b_{n}^{2}}

一般項

a_{n}, b_{n}

を求めよ。

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福田のおもしろ数学051〜10秒チャレンジ！〜階乗の付いた分数の計算

単元： #数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

\frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \frac{4}{5!} + \frac{5}{6!}

を計算してください。

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福田のおもしろ数学047〜これができたら天才〜ガウス記号のついた数の和

単元： #数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

[\frac{13 \times 1}{2024}] + [\frac{13 \times 2}{2024}] + [\frac{13 \times 3}{2024}] + ・ ・ ・ + [\frac{13 \times 2023}{2024}]

を計算してください。
ただし、

[x]

は

x

を超えない最大の整数を表します。

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数列　by ハルハルさん　すげー解答: 英語orドイツ語さん　#Shorts

単元： #数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

a_{1} = 0

a_{n + 1} = (a_{n} + 4) (a_{n} + 10)

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2024年共通テスト徹底解説〜数学ⅡB第4問数列〜福田の入試問題解説

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#センター試験・共通テスト関連#共通テスト#数学(高校生)#大学入試解答速報#数学#共通テスト#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
共通テスト2024の数学ⅡB第4問数列を徹底解説します

2024共通テスト過去問

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数列　難易度高め　by Picmin3daisukiさん　#Shorts

単元： #数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

a_{1} = \sqrt{3}

a_{n + 1} = \frac{- 1 + \sqrt{1 + a_{n}^{2}}}{a_{n}}

を満たす一般項

a_{n}

を求めよ。

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数列 By Picmin3daisukiさん

単元： #数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

a_{1} = \sin^{2} 2

a_{n + 1} = 4 a_{n} (1 - a_{n})

を満たす一般項

a_{n}

を求めよ。

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Picmin3daisukiさんの数列（オリジナル）

単元： #数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

a_{1} = \sqrt{3}

\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = a_{n + 1} a_{n} + 2

のとき一般項

a_{n}

を求めよ

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福田のおもしろ数学020〜わんちゃんの男の子と女の子の比率は〜Google入社試験の類題

単元： #数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数B#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
わんちゃんの国があります。この国ではどの家庭も男の子が産まれるまで子供を作り続けます。この国の男の子と女の子の比率はどうなりますか.

google入社試験過去問

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等差数列の和　視聴者さんからいただいた問題

単元： #数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B

指導講師：数学を数楽に

問題文全文(内容文)：
77+78+79+・・・+99

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 数列とその和（等差・等比・階差・Σ）

【数B】【数列】その他の数列3 ※問題文は概要欄

【数B】【数列】その他の数列2 ※問題文は概要欄

【数B】【数列】その他の数列1 ※問題文は概要欄

【数B】【数列】群数列 ※問題文は概要欄

大学入試問題#923「帰納法で解いても良いのかな」

百マス計算全部出したらなんぼ？

2025年度入試に出るかも？～答えが2025になる計算問題～

大学入試問題#895「2番だけで良い大問」 #福井大学医学部(2015) #数列

これ解ける？

福田の数学〜慶應義塾大学2024年経済学部第3問〜指数関数で定義された数列の漸化式

大学入試問題#862「計算力と根性！」 #京都大学(2023) #数列

288 数列の100以下の項を足し合わせる：漸化式とΣの面倒な問題もプログラムで楽々解決！ #shorts

福田の数学〜神戸大学2024年理系第1問〜無理関数を利用して定義された数列の一般項

福田の数学〜大阪大学2024年文系第3問〜素数を小さい順に並べた数列の特徴

福田のおもしろ数学138〜シグマ計算

福田の数学〜一橋大学2024年文系第1問〜シグマが2024になるような2変数の値

福田の数学〜東北大学2024年文系第4問〜連立漸化式と不定方程式の整数解

福田の数学〜慶應義塾大学2024年看護医療学部第3問〜群数列

福田のおもしろ数学095〜素数が並ぶ数列

福田の数学〜慶應義塾大学2024年薬学部第1問(1)〜等差数列と等比中項

難解な数列の問題 By 英語orドイツ語シはBかHか さん

福田のおもしろ数学051〜10秒チャレンジ！〜階乗の付いた分数の計算

福田のおもしろ数学047〜これができたら天才〜ガウス記号のついた数の和

数列 by ハルハルさん すげー解答: 英語orドイツ語さん #Shorts

2024年共通テスト徹底解説〜数学ⅡB第4問数列〜福田の入試問題解説

数列 難易度高め by Picmin3daisukiさん #Shorts

数列 By Picmin3daisukiさん

Picmin3daisukiさんの数列（オリジナル）

福田のおもしろ数学020〜わんちゃんの男の子と女の子の比率は〜Google入社試験の類題

等差数列の和 視聴者さんからいただいた問題

大学入試問題#895「2番だけで良い大問」　#福井大学医学部(2015)　#数列

大学入試問題#862「計算力と根性！」　#京都大学(2023)　#数列

難解な数列の問題　By 英語orドイツ語シはBかHかさん

数列　by ハルハルさん　すげー解答: 英語orドイツ語さん　#Shorts

数列　難易度高め　by Picmin3daisukiさん　#Shorts

等差数列の和　視聴者さんからいただいた問題