福田の数学〜筑波大学2023年理系第6問〜複素数平面上の点の軌跡とアポロニウスの円

問題文全文(内容文)：

6

i

を虚数単位とする。複素数平面に関する以下の問いに答えよ。
(1)等式|

z

+2|=2|

z

-1| を満たす点

z

の全体が表す図形は円であることを示し、その中心と半径を求めよ。
(2)等式

{| z + 2 | - 2 | z - 1 |}

| z + 6 i |

3 {| z + 2 | - 2 | z - 1 |}

| z - 2 i |

を満たす点

z

の全体が表す図形をSとする。このときSを複素数平面上に図示せよ。
(3)点

z

が(2)における図形S上を動くとき、

w

\frac{1}{z}

で定義される点

w

が描く図形を複素数平面上に図示せよ。

2023筑波大学理系過去問

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数平面#図形と方程式#軌跡と領域#複素数平面#図形への応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#筑波大学#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

6

i

を虚数単位とする。複素数平面に関する以下の問いに答えよ。
(1)等式|

z

+2|=2|

z

-1| を満たす点

z

の全体が表す図形は円であることを示し、その中心と半径を求めよ。
(2)等式

{| z + 2 | - 2 | z - 1 |}

| z + 6 i |

3 {| z + 2 | - 2 | z - 1 |}

| z - 2 i |

を満たす点

z

の全体が表す図形をSとする。このときSを複素数平面上に図示せよ。
(3)点

z

が(2)における図形S上を動くとき、

w

\frac{1}{z}

で定義される点

w

が描く図形を複素数平面上に図示せよ。

2023筑波大学理系過去問

投稿日：2023.07.03

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

i

は虚数単位とする。次の条件

(I), (II)

のどちらも満たす複素数z全体の集合を
Sとする。

(I) z

の虚部は正である。

(II)

複素数平面上の点

A (1), B (1 - i z), C (z^{2})

は一直線上にある。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)1でない複素数

α

について、

α

の虚部が正であることは、

\frac{1}{α - 1}

の虚部が
負であるための必要十分条件であることを示せ。
(2)集合Sを複素数平面上に図示せよ。
(3)

w = \frac{1}{z - 1}

とする。zがSを動くとき、

| w + \frac{i}{\sqrt{2}} |

の最小値を求めよ。

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問題文全文(内容文)：
次の複素数を極形式で表せ
(1)

\sqrt{3} + i

(2)

- 2 + 2 i

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問題文全文(内容文)：
以下の問いに答えよ。
(1)

θ

を

0 ≦ θ < 2 π

を満たす実数、iを虚数単位とし、

z = \cos θ + i \sin θ

で
表される複素数とする。このとき、整数nに対して次の式を証明せよ。

\cos n θ = \frac{1}{2} (z^{n} + \frac{1}{z^{n}}), \sin n θ = - \frac{i}{2} (z^{n} - \frac{1}{z^{n}})

(2)次の方程式を満たす実数

x (0 ≦ x < 2 π)

を求めよ。

\cos x + \cos 2 x - \cos 3 x = 1

(3)次の式を証明せよ。

\sin^{2} 20 ° + \sin^{2} 40 ° + \sin^{2} 60 ° + \sin^{2} 80 ° = \frac{9}{4}

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問題文全文(内容文)：

3

i

を虚数単位とする。複素数zの絶対値を

| z |

と表す。

w = \cos \frac{2 π}{5} + i \sin \frac{2 π}{5}

とし、

α = w + w^{4}

　とする。

(1)

α^{2} = お

である。これより、

α = \frac{ソ + \sqrt{タ}}{チ}

である。
(2)複素数平面上の2点

\frac{i}{2}

,-1間の距離は

か

である。
(3)複素数平面上の2点

w^{2},

-1間の距離は

き

である。
(4)

\frac{w^{2} + 1}{w + 1} = r (\cos θ + i \sin θ)

　(ただし、

r > 0, 0 ≦ θ < 2 π

)
とおくとき、

r = く

であり、

θ = \frac{ツ}{テ} π

である。
(5)複素数平面上で、-1を中心都市

w^{2}

を通る円上をzが動くとする。

x = \frac{1}{z}

とするとき、

x

は

| 1 + x | = け | x |

を満たし、

こ

を
中心とする半径

さ

の円を描く。

お ～ さ

の選択肢

(a) 1 (b) 2 (c) α (d) 2 α

(e) \frac{α}{2} + 1 (f) \frac{α}{2} - 1 (g) - \frac{α}{2} + 1 (h) - \frac{α}{2} - 1

(i) α + 1 (j) α - 1 (k) - α + 1 (l) - α - 1

(m) α + \frac{1}{2} (n) α - \frac{1}{2} (o) - α + \frac{1}{2} (p) - α - \frac{1}{2}

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指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
長崎大学過去問題
(1)

x^{3} = 1

を解け
(2)

α = m + \sqrt{7} n i

とすると、

α^{3} = 225 + 2 \sqrt{7} i

が成り立つ。整数m,nを求めよ。
(3)

β^{3} = 225 + 2 \sqrt{7} i

を満たす複素数βをすべて求めよ。

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