福田の数学〜筑波大学2022年理系第6問〜複素数平面上の点の軌跡と最小値 - 質問解決D.B.(データベース)

福田の数学〜筑波大学2022年理系第6問〜複素数平面上の点の軌跡と最小値

問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{6}}\ iは虚数単位とする。次の条件(\textrm{I}),(\textrm{II})のどちらも満たす複素数z全体の集合を\\
Sとする。\\
(\textrm{I})zの虚部は正である。\\
(\textrm{II})複素数平面上の点A(1),B(1-iz),C(z^2)は一直線上にある。\\
このとき、以下の問いに答えよ。\\
(1)1でない複素数\alphaについて、\alphaの虚部が正であることは、\frac{1}{\alpha-1}の虚部が\\
負であるための必要十分条件であることを示せ。\\
(2)集合Sを複素数平面上に図示せよ。\\
(3)w=\frac{1}{z-1}とする。zがSを動くとき、|w+\frac{i}{\sqrt2}|の最小値を求めよ。
\end{eqnarray}
単元: #大学入試過去問(数学)#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#筑波大学#数C
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{6}}\ iは虚数単位とする。次の条件(\textrm{I}),(\textrm{II})のどちらも満たす複素数z全体の集合を\\
Sとする。\\
(\textrm{I})zの虚部は正である。\\
(\textrm{II})複素数平面上の点A(1),B(1-iz),C(z^2)は一直線上にある。\\
このとき、以下の問いに答えよ。\\
(1)1でない複素数\alphaについて、\alphaの虚部が正であることは、\frac{1}{\alpha-1}の虚部が\\
負であるための必要十分条件であることを示せ。\\
(2)集合Sを複素数平面上に図示せよ。\\
(3)w=\frac{1}{z-1}とする。zがSを動くとき、|w+\frac{i}{\sqrt2}|の最小値を求めよ。
\end{eqnarray}
投稿日:2022.05.30

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複素数平面の基本⑫半直線のなす角を考える

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$\omega=\displaystyle \frac{1}{1-u}$とおき$\omega$と共役な複素数を$\overline{ \omega }$で表す。

(1)uと$\displaystyle \frac{\overline{ \omega }}{\omega}$をzについての整数として表し、絶対値の値$\displaystyle \frac{\vert \omega+\overline{ \omega }-1 \vert}{\vert \omega \vert}$を求めよ。
(2)Cのうち実部が$\frac{1}{2}$以下の複素数平面で表される部分をCとする。点P(z)がC’上を動くときの点R($\omega$)の軌跡を求めよ。
  $\omega$=x+yi(x,yは実数)とおく。
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問題文全文(内容文):
次の複素数の絶対値を求めよ
(1)-3+4i (2)(1-2i)² (3)(2+3i)/(5-i)
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(1)α=3+4i,β=7+5i (2)α=-3i,β=5
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