福田の数学〜千葉大学2023年第5問〜垂線の足の位置ベクトル

問題文全文(内容文)：

5

　点Oを原点とする座標平面において、点Aと点Bが

\vec{O A}

・

\vec{O A}

=5,　

\vec{O B}

・

\vec{O B}

=2,　

\vec{O A}

・

\vec{O B}

=3を満たすとする。
(1)

\vec{O B}

k \vec{O A}

　となるような実数

k

は存在しないことを示せ。
(2)点Bから直線OAに下ろした垂線とOAとの交点をHとする。

\vec{H B}

を

\vec{O A}

と

\vec{O B}

を用いて表せ。
(3)実数

t

に対し、直線OA上の点Pを

\vec{O P}

t \vec{O A}

となるようにとる。同様に直線OB上の点Qを

\vec{O Q}

=(1-

t

)

\vec{O B}

となるようにとる。点Pを通り直線OAと直交する直線を

l_{1}

とし、点Qを通り直線OBと直交する直線を

l_{2}

とする。

l_{1}

と

l_{2}

の交点をRとするとき、

\vec{O R}

を

\vec{O A}

\vec{O B}

t

を用いて表せ。
(4)3点O,A,Bを通る円の中心をCとするとき、

\vec{O C}

を

\vec{O A}

と

\vec{O B}

を用いて表せ。

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

　点Oを原点とする座標平面において、点Aと点Bが

\vec{O A}

・

\vec{O A}

=5,　

\vec{O B}

・

\vec{O B}

=2,　

\vec{O A}

・

\vec{O B}

=3を満たすとする。
(1)

\vec{O B}

k \vec{O A}

　となるような実数

k

は存在しないことを示せ。
(2)点Bから直線OAに下ろした垂線とOAとの交点をHとする。

\vec{H B}

を

\vec{O A}

と

\vec{O B}

を用いて表せ。
(3)実数

t

に対し、直線OA上の点Pを

\vec{O P}

t \vec{O A}

となるようにとる。同様に直線OB上の点Qを

\vec{O Q}

=(1-

t

)

\vec{O B}

となるようにとる。点Pを通り直線OAと直交する直線を

l_{1}

とし、点Qを通り直線OBと直交する直線を

l_{2}

とする。

l_{1}

と

l_{2}

の交点をRとするとき、

\vec{O R}

を

\vec{O A}

\vec{O B}

t

を用いて表せ。
(4)3点O,A,Bを通る円の中心をCとするとき、

\vec{O C}

を

\vec{O A}

と

\vec{O B}

を用いて表せ。

投稿日：2023.07.30

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指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
三角形ABCがあり、辺ABを1:2に内分する点をD、辺BCを1:3に内分する点をE、三角形ABCの重心をGとする。
(1)AD, AE, AGをそれぞれAB, ACを用いて表せ。
(2)GF=tAB(tは実数)と表される点Fがある。
(i)AFをt,AB,ACを用いて表せ。
(ii)さらに、FがDF=uDE(uは実数)を満たすとき、t,uの値を求めよ。
(3)AB=√3,AB・AC=-1,AC=√7とし、Gから直線ABに下した垂線と直線ABとの交点をH とする。 (i)AH=kAB(kは実数)とおくとき、kの値を求めよ。
(ii)Fが(2)(ii)の点であるとき、4点D,F,G,Hを頂点とする四角形の面積を求めよ。

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福田の数学〜東京大学2018年理系第3問〜軌跡と領域そして極限

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
放物線

y = x^{2}

のうち

- 1 ≦ x ≦ 1

を満たす部分をCとする。座標平面上の原点Ｏと点A(1,0)を考える。Ｋ＞０を実数とする。点ＰがＣの上を動き、天Ｑが線分ＯＡ上を動くとき

\vec{O R} = \frac{1}{k} \vec{O P} + k \vec{O Q}

を満たす点Ｒが動く領域の面積をＳ(k)とする。
Ｓ(k)および

lim_{k \to + 0} S (k), lim_{k \to \infty} S (k)

を求めよ。

2018東京大学理系過去問

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 福田の数学〜千葉大学2023年第5問〜垂線の足の位置ベクトル

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