福田の数学〜千葉大学2023年第5問〜垂線の足の位置ベクトル - 質問解決D.B.(データベース)

福田の数学〜千葉大学2023年第5問〜垂線の足の位置ベクトル

問題文全文(内容文):
$\Large\boxed{5}$ 点Oを原点とする座標平面において、点Aと点Bが$\overrightarrow{OA}$・$\overrightarrow{OA}$=5, $\overrightarrow{OB}$・$\overrightarrow{OB}$=2, $\overrightarrow{OA}$・$\overrightarrow{OB}$=3を満たすとする。
(1)$\overrightarrow{OB}$=$k\overrightarrow{OA}$ となるような実数$k$は存在しないことを示せ。
(2)点Bから直線OAに下ろした垂線とOAとの交点をHとする。$\overrightarrow{HB}$を$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$を用いて表せ。
(3)実数$t$に対し、直線OA上の点Pを$\overrightarrow{OP}$=$t\overrightarrow{OA}$となるようにとる。同様に直線OB上の点Qを$\overrightarrow{OQ}$=(1-$t$)$\overrightarrow{OB}$となるようにとる。点Pを通り直線OAと直交する直線を$l_1$とし、点Qを通り直線OBと直交する直線を$l_2$とする。
$l_1$と$l_2$の交点をRとするとき、$\overrightarrow{OR}$を$\overrightarrow{OA}$,$\overrightarrow{OB}$,$t$を用いて表せ。
(4)3点O,A,Bを通る円の中心をCとするとき、$\overrightarrow{OC}$を$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$を用いて表せ。
単元: #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)#数C
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
$\Large\boxed{5}$ 点Oを原点とする座標平面において、点Aと点Bが$\overrightarrow{OA}$・$\overrightarrow{OA}$=5, $\overrightarrow{OB}$・$\overrightarrow{OB}$=2, $\overrightarrow{OA}$・$\overrightarrow{OB}$=3を満たすとする。
(1)$\overrightarrow{OB}$=$k\overrightarrow{OA}$ となるような実数$k$は存在しないことを示せ。
(2)点Bから直線OAに下ろした垂線とOAとの交点をHとする。$\overrightarrow{HB}$を$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$を用いて表せ。
(3)実数$t$に対し、直線OA上の点Pを$\overrightarrow{OP}$=$t\overrightarrow{OA}$となるようにとる。同様に直線OB上の点Qを$\overrightarrow{OQ}$=(1-$t$)$\overrightarrow{OB}$となるようにとる。点Pを通り直線OAと直交する直線を$l_1$とし、点Qを通り直線OBと直交する直線を$l_2$とする。
$l_1$と$l_2$の交点をRとするとき、$\overrightarrow{OR}$を$\overrightarrow{OA}$,$\overrightarrow{OB}$,$t$を用いて表せ。
(4)3点O,A,Bを通る円の中心をCとするとき、$\overrightarrow{OC}$を$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$を用いて表せ。
投稿日:2023.07.30

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問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\large\boxed{2}}\ tを正の実数とする。OA=1,\ OB=tである三角形OABにおいて、\overrightarrow{ a }=\overrightarrow{ OA },\\
\overrightarrow{ b }=\overrightarrow{ OB },\angle AOB=θとする。ただし、0 \lt θ \lt \frac{\pi}{2}とする。また、辺OAの中点\\
をM、辺OBを1:2に内分する点をNとする。次の問いに答えよ。\hspace{70pt}\\
(1)\overrightarrow{ AN }と\overrightarrow{ BM }を\overrightarrow{ a }と\overrightarrow{ b }を用いて表せ。\hspace{180pt}\\
(2)内積\overrightarrow{ AN }・\overrightarrow{ BM }をtと\cos θを用いて表せ。\hspace{148pt}\\
(3)\overrightarrow{ AN }∟\overrightarrow{ BM }であるとき、\cos θをtを用いて表せ。\hspace{119pt}\\
(4)\overrightarrow{ AN }∟\overrightarrow{ BM }であるとき、\cos θの最小値とそれを与えるtの値をそれぞれ求めよ。\hspace{5pt}\\
(5)\overrightarrow{ AN }∟\overrightarrow{ BM }となるθが存在するtの値の範囲を求めよ。\hspace{103pt}\\
\end{eqnarray}

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問題文全文(内容文):
$\vert \overrightarrow{a}\vert=5$である$\overrightarrow{a}$がある。
(1) $\overrightarrow{a}$と同じ向きの単位ベクトルを、$\overrightarrow{a}$を用いて表せ。
(2) $\overrightarrow{a}$と平行で、大きさが3のベクトルを、$\overrightarrow{a}$を用いて表せ。
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