福田の数学〜立教大学2022年理学部第４問〜複素数平面上の点列と三角形の面積 - 質問解決D.B.（データベース）
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福田の数学〜立教大学2022年理学部第４問〜複素数平面上の点列と三角形の面積

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\large\boxed{4}}\ 複素数\alpha=\frac{\sqrt3\ i}{1+\sqrt3\ i}\ に対して、複素数z_nを\hspace{150pt}\\
z_n=8\alpha^{n-1}\ \ \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ ...)\hspace{110pt}\\
によって定める。ただしiは虚数単位とする。複素数平面において、原点をOとし、\hspace{13pt}\\
z_nの表す点をP_nとする。このとき、以下の問いに答えよ。\hspace{98pt}\\
(1)\alphaの絶対値|\alpha|と変革\arg\alphaをそれぞれ求めよ。ただし、0 \leqq \arg\alpha \lt 2\piとする。\hspace{2pt}\\
(2)z_2,\ z_3の実部と虚部をそれぞれ求めよ。\hspace{157pt}\\
(3)z_nの極形式をnを用いて表せ。\hspace{191pt}\\
(4)O,\ P_n,\ P_{n+1}を頂点とする三角形の面積S_nをnを用いて表せ。\hspace{71pt}\\
(5)(4)で定めたS_nに対して、無限級数\sum_{n=1}^{\infty}S_nの和Sを求めよ。\hspace{82pt}\\
\end{eqnarray}

2022立教大学理工学部過去問
単元： #大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\large\boxed{4}}\ 複素数\alpha=\frac{\sqrt3\ i}{1+\sqrt3\ i}\ に対して、複素数z_nを\hspace{150pt}\\
z_n=8\alpha^{n-1}\ \ \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ ...)\hspace{110pt}\\
によって定める。ただしiは虚数単位とする。複素数平面において、原点をOとし、\hspace{13pt}\\
z_nの表す点をP_nとする。このとき、以下の問いに答えよ。\hspace{98pt}\\
(1)\alphaの絶対値|\alpha|と変革\arg\alphaをそれぞれ求めよ。ただし、0 \leqq \arg\alpha \lt 2\piとする。\hspace{2pt}\\
(2)z_2,\ z_3の実部と虚部をそれぞれ求めよ。\hspace{157pt}\\
(3)z_nの極形式をnを用いて表せ。\hspace{191pt}\\
(4)O,\ P_n,\ P_{n+1}を頂点とする三角形の面積S_nをnを用いて表せ。\hspace{71pt}\\
(5)(4)で定めたS_nに対して、無限級数\sum_{n=1}^{\infty}S_nの和Sを求めよ。\hspace{82pt}\\
\end{eqnarray}

2022立教大学理工学部過去問
投稿日：2022.09.17

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(1)$\frac{Z}{1+i}$をa+biの形で(a,b実数)
(2)Zを極形式で表せ
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\begin{eqnarray}
{\large\boxed{7}}\ iを虚数単位とする。\alpha=-1+iとし、zは次の条件をともに満たす複素数とする。\\
条件1.\hspace{10pt}\frac{z-\alpha}{z-\bar{\alpha}}の実部は0である。\\
条件2.\hspace{10pt}zの虚部は0以上である。\\
このとき、複素数平面上でzがとりうる値全体の集合を表す図形Cと、実軸で\\
\\
囲まれる部分の面積は\frac{\boxed{\ \ ア\ \ }}{\boxed{\ \ イ\ \ }}\piである。\\
\\
また、w=\frac{iz}{z+1}で表される点wがとりうる値全体の集合を表す図形と、\\
図形Cで囲まれる部分の面積は\frac{\boxed{\ \ ウ\ \ }\ \pi+\boxed{\ \ エ\ \ }}{\boxed{\ \ オ\ \ }}である。
\end{eqnarray}

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指導講師： 福田次郎
問題文全文(内容文)：
(練習)以下の式を極形式表示に直せ。ただし$0 \leqq \theta\leqq 2\pi$とする。
(1)$2-2i$
(2)$(2-2\sqrt3i)(i-1)$


$\alpha=1+i,\beta=3+2i$のとき、この2点を一辺とする正三角形の
残りの頂点を表す複素数を求めよ。
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単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数と方程式#複素数平面#複素数#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数C
指導講師： 福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{2}}$　(1)複素数$\alpha$は$\alpha^2+3\alpha+3=0$　を満たすとする。このとき、$(\alpha+1)^2(\alpha+2)^5=\boxed{\ \ キ\ \ }$
である。また、$(\alpha+2)^s(\alpha+3)^t=3$となる整数$s,t$の組を全て求めよ。

(2)多項式$(x+1)^3(x+2)^2$を$x^2+3x+3$で割った時の商は$\boxed{\ \ ク\ \ }$、余りは$\boxed{\ \ ケ\ \ }$である。
また、$(x+1)^{2021}$を$x^2+3x+3$で割った時の余りは$\boxed{\ \ コ\ \ }$である。

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問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{3}$ 実数が書かれた3枚のカード$\boxed{0}$,$\boxed{1}$,$\boxed{\sqrt 3}$から無作為に2枚のカードを順に選び、出た実数を順に実部と虚部にもつ複素数を得る操作を考える。正の整数nに対して、この操作をn回繰り返して得られるn個の複素数の積を$z_n$で表す。
(1)|$z_n$|＜5となる確率$P_n$を求めよ。
(2)$z_n^2$が実数となる確率$Q_n$を求めよ。

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