問題文全文(内容文)：
方程式を解け
$(x+\sqrt{3}+\sqrt{5}{)}^2-3\sqrt{5}(x-2\sqrt{5}+\sqrt{3})-35=0$

2023渋谷教育学園幕張高等学校

問題文全文(内容文)：
第1問
[1]実数xについての不等式
|$x$+6| $\leqq$ 2
の解は
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}\mathrm{イ}}}\leqq x\leqq \boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}\mathrm{エ}}}$
である。
よって、実数$a,b,c,d$が
|(1-$\sqrt{3}$)($a-b$)($c-d$)+6| $\leqq$2
を満たしているとき、1-$\sqrt{3}$は負であることに注意すると、($a-b$)($c-d$)
の取り得る値の範囲は
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}+\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}\sqrt{3}\leqq (a-b)(c-d)\leqq \boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}+\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}\sqrt{3}$
であることがわかる。
特に
$(a-b)(c-d)=\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}+\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}\sqrt{3} \cdots \mathrm{①}$
であるとき、さらに
$(a-c)(b-d)=-3+\sqrt{3} \cdots \mathrm{②}$
が成り立つならば
$(a-d)(c-b)=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}+\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}\sqrt{3} \cdots \mathrm{③}$
であることが、等式①,②,③の左辺を展開して比較することによりわかる。

[2]
(1)点Oを中心とし、半径が5である円Oがある。この円周上に2点A,B
をAB=6となるようにとる。また、円Oの円周上に、2点A,Bとは異なる点Cをとる。
(i)$\sin \mathrm{\angle }ACB=\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}}}$である。また、点Cを\angle ACBが鈍角となるようにとるとき、$\cos \mathrm{\angle }ACB=\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}}}$である。
(ii)点Cを$\mathrm{△}ABC$の面積が最大となるようにとる。点Cから直線ABに垂直な直線を引き、直線ABとの交点をDとするとき、
$\tan \mathrm{\angle }OAD=\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}}$である。また、$\mathrm{△}ABC$の面積は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}\mathrm{ソ}}}$である。

$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}}}$ ～ $\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい)
⓪${\displaystyle \frac{3}{5}}$　①${\displaystyle \frac{3}{4}}$　②${\displaystyle \frac{4}{5}}$　③ 1④${\displaystyle \frac{4}{3}}$
⑤$-{\displaystyle \frac{3}{5}}$　⑥$-{\displaystyle \frac{3}{4}}$　⑦$-{\displaystyle \frac{4}{5}}$　⑧ -1⑨$-{\displaystyle \frac{4}{3}}$
(2)半径が5である球Sがある。この球面上に3点P,Q,Rをとったとき、
これらの3点を通る平面α上でPQ=8, QR=5, RP=9であったとする。
球Sの球面上に点Tを三角錐TPQRの体積が最大となるようにとるとき、その体積を
求めよう。
まず、$\cos \mathrm{\angle }QPR=\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{チ}}}}$である
ことから、$\mathrm{△}PQR$の面積は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ツ}}}\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{テ}\mathrm{ト}}}}$である。
次に、点Tから平面αに垂直な直線を引き、平面αとの交点をHとする。このとき、PH,QH,RHの長さについて、$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ナ}}}}}$が成り立つ。
以上より、三角錐TPQRの体積は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ニ}\mathrm{ヌ}}}(\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ネ}\mathrm{ノ}}}}+\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ハ}}}})$である。
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ナ}}}}}$の解答群
⓪PH＜QH＜RH　①PH＜RH＜QH　
②QH＜PH＜RH　③QH＜RH＜PH　
④RH＜PH＜QH　⑤RH＜QH＜PH　
⑥PH=QH=RH　

2023共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
$x=\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}$

$y=\frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}+2}$　のとき、次の値を求めよ。

(1)$x+y$
(2)$xy$
(3)$x^2+y^2$
(4)$x^3+y^3$
(5)$x^4+y^4$
(6)$x^5+y^5$


$x=\sqrt{5}+2$のとき、次の値を求めよ。
(1)$x+\frac{1}{x}$

(2)$x^2+\frac{1}{x^2}$

(3)$x^3+\frac{1}{x^3}$

(4)$x^4+\frac{1}{x^4}$

(5)$x^5+\frac{1}{x^5}$


$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$の整数部分を$a$,少数部分を$b$とする。次の値を求めよ。
(1)$a$
(2)$b$
(3)$a+b+b^2$

問題文全文(内容文)：
次の不等式を解きなさい。
${\displaystyle \frac{1}{x-2}}\leqq {\displaystyle \frac{2}{x+3}}$

問題文全文(内容文)：
放物線$y=-3x^2$を、頂点が次の点になるように平行移動するとき、移動後の放物線の方程式を求めよ。
(1)$(1,2)$
(2)$(-2,3)$