福田の数学〜早稲田大学2022年商学部第３問〜空間図形の計量

問題文全文(内容文)：
座標空間において、2つの円

C_{1}, C_{2}

を

C_{1} = {(x, y, 0) | x^{2} + y^{2} = 1}, C_{2} = {(0, y, z) | (y - 1)^{2} + z^{2} = 1}

とする。次の設問に答えよ。
(1)

C_{1}

上の2点と

C_{2}

上の点(0,1,1)を頂点とする正三角形を考える。
このような正三角形の一辺の長さをすべて求めよ。
(2)すべての頂点がC_1∪C_2上にある正四面体を考える。
このような正四面体の一辺の長さをすべて求めよ。

2022早稲田大学商学部過去問

単元： #数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形の性質#図形と方程式#三角関数#円と方程式#加法定理とその応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#空間における垂直と平行と多面体（オイラーの法則）#早稲田大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
座標空間において、2つの円

C_{1}, C_{2}

を

C_{1} = {(x, y, 0) | x^{2} + y^{2} = 1}, C_{2} = {(0, y, z) | (y - 1)^{2} + z^{2} = 1}

とする。次の設問に答えよ。
(1)

C_{1}

上の2点と

C_{2}

投稿日：2022.08.20

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数学どうにかしたい人へ

単元： #数Ⅰ#数A#数Ⅱ#数と式#２次関数#場合の数と確率#図形の性質#式と証明#複素数と方程式#平面上のベクトル#空間ベクトル#平面上の曲線#複素数平面#図形と計量#データの分析#式の計算（整式・展開・因数分解）#実数と平方根（循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号）#一次不等式（不等式・絶対値のある方程式・不等式）#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#2次方程式と2次不等式#2次関数とグラフ#三角比（三角比・拡張・相互関係・単位円）#三角比への応用（正弦・余弦・面積）#データの分析#整数の性質#場合の数#確率#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#内心・外心・重心とチェバ・メネラウス#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#方べきの定理と２つの円の関係#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#図形と方程式#三角関数#指数関数と対数関数#微分法と積分法#整式の除法・分数式・二項定理#恒等式・等式・不等式の証明#複素数#解と判別式・解と係数の関係#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#円と方程式#軌跡と領域#三角関数とグラフ#加法定理とその応用#指数関数#対数関数#平均変化率・極限・導関数#接線と増減表・最大値・最小値#数列#確率分布と統計的な推測#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#空間ベクトル#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#漸化式#数学的帰納法#確率分布#統計的な推測#関数と極限#微分とその応用#積分とその応用#2次曲線#複素数平面#図形への応用#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数列の極限#関数の極限#微分法#色々な関数の導関数#接線と法線・平均値の定理#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#不定積分#定積分#面積・体積・長さ・速度#空間における垂直と平行と多面体（オイラーの法則）#不定積分・定積分#面積、体積#媒介変数表示と極座標#速度と近似式#数学(高校生)#数B#数C#数Ⅲ

指導講師：カサニマロ【べんとう・ふきのとうの授業動画】

問題文全文(内容文)：
数学が共通テストのみの人の勉強法紹介動画です

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福田の数学〜早稲田大学2022年理工学部第４問〜正八面体の内部に配置した6個の球の和集合の体積と共通部分の体積

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#図形の性質#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#空間における垂直と平行と多面体（オイラーの法則）#早稲田大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

一辺の長さが

\sqrt{3} + 1

である正八面体の頂点を右図(※動画参照)
のように

P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}, P_{5}, P_{6}

とする。

i = 1, 2, \dots, 6

に対して

P_{i}

以外の5点を頂点とする四角錐のすべての面に
内接する球(内部含む)を

B_{i}

とする。

B_{1}

の体積をXとし、

B_{1}

と

B_{2}

の共通部分の体積をYとし、

B_{1}, B_{2}, B_{3}

の共通部分の体積をZ
とする。さらに

B_{1}, B_{2}, \dots, B_{n}

を合わせて得られる立体の体積を

V_{n} (n = 2, 3, \dots, 6)

とする。以下の問いに答えよ。
(1)

V_{n} = a X + b Y + c Z

となる整数a,b,cを

n = 2, 3, 6

の場合
について求めよ。
(2)Xの値を求めよ。
(3)

V_{2}

の値を求めよ。

2022早稲田大学理工学部過去問

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福田の数学〜神戸大学2023年理系第4問〜平面に下ろした垂線ベクトルと四面体の体積

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#図形の性質#空間ベクトル#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#空間における垂直と平行と多面体（オイラーの法則）#神戸大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

四面体OABCがあり、辺OA, OB, OCの長さはそれぞれ

\sqrt{13}

, 5, 5である。

\vec{O A}

・

\vec{O B}

\vec{O A}

・

\vec{O C}

=1,　

\vec{O B}

・

\vec{O C}

=-11 とする。頂点Oから

△

ABCを含む平面に下ろした垂線とその平面の交点をHとする。以下の問いに答えよ。
(1)線分ABの長さを求めよ。
(2)実数

s

t

を

\vec{O H}

\vec{O A}

s \vec{A B}

t \vec{A C}

を満たすように定めるとき、

s

と

t

の値を求めよ。
(3)四面体OABCの体積を求めよ。

2023神戸大学理系過去問

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福田の数学〜どれだけの情報を引き出せるかが勝負〜早稲田大学2023年商学部第2問〜球に内接する四面体の体積の最大

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#図形の性質#学校別大学入試過去問解説(数学)#空間における垂直と平行と多面体（オイラーの法則）#早稲田大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

中心O、半径1の球に内接する四面体で、その4頂点

T_{1}

T_{2}

T_{3}

T_{4}

が次の条件(i), (ii)を満たすものを考える。
(i)|

\vec{T_{1} T_{2}}

\sqrt{3}

(ii)

k

(

\vec{O T_{1}}

\vec{O T_{2}}

\vec{O T_{3}}

\vec{O T_{4}}

\vec{0}

ここで、

k

は2未満の正の実数とする。次の設問に答えよ。
(1)線分

T_{3} T_{4}

の中点をMとしたとき、

\triangleT_{1} T_{2} M

の面積を

k

を用いて表せ。
(2)各

k

に対し、上の条件を満たす四面体の体積の最大値を

V (k)

とする。

V (k)

が最大になるときの

k

の値を求めよ。

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福田のおもしろ数学034〜各面が合同な三角形でできた四面体の体積〜等面四面体

単元： #数学(中学生)#中３数学#数A#図形の性質#三平方の定理#空間における垂直と平行と多面体（オイラーの法則）#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
どの面も、5,6,7の長さの三角形でできている四面体の体積を求めよ

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 福田の数学〜早稲田大学2022年商学部第３問〜空間図形の計量

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