問題文全文(内容文)：

$a_n=\displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac{(1-x)^{n-1}}{(n-1)!}e^x dx$を利用して

$e=1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\cdots$

を証明して下さい。
　　　　　

問題文全文(内容文)：

$\boxed{3}$

点$P, Q$を数直線の原点におき、
$1$個のさいころを投げて
出た目に応じて$P, Q$を動かす。
偶数の目が出たときは$P$を正の向きに$1$だけ動かし、
$5$または$6$の目が出たときは
$Q$を正の向きに$1$だけ動かす。
たとえば、$6$の目が出たときは$P, Q$をともに
正の向きに$1$だけ動かす。
$P$と$Q$の距離が初めて$2$となるまで
さいころを投げ続けることとし、
$P$と$Q$の距離が$2$となったら、
それ以降はさいころを投げない。
$n$回さいころを投げて$P$と$Q$の距離が
$2$となる確率を$p_n$とする。

(1)$P_2 = \boxed{シ}$である。

(2)$n$回さいころを投げて、
$P$が$Q$よりも正の向きに
$1$だけ進んでいる確率を$x_n$、
$P$と$Q$が同じ位置にある確率を$y_n$、
$Q$が$P$よりも正の向きに$1$だけ進んでいる確率を
$z_n$とすると、

$y_{n+1}=\boxed{ス}x_n+\boxed{セ}y_n+\boxed{ソ}z_n$

という関係式が成立する。

また、$x_n=\boxed{タ}z_n$が成り立つ。

ただし、$\boxed{ス}$～$\boxed{タ}$には数を記入すること。

(3)関係式

$z_{n+1}+\alpha y_{n+1}=\beta(z_n+\alpha y_n)$

を満たす定数の組$(\alpha,\beta)$は$\boxed{チ}$と$\boxed{ツ}$の$2$組ある。

(4)$p_n$を$n$を用いて表すと$p_n=\boxed{テ}$となる。

$2025$年慶應義塾大学理工学部過去問題

問題文全文(内容文)：
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a_1=3 \\
a_n=\displaystyle \frac{S_n}{n}+(n-1)・2^n
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
を満たすような数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ

出典：2023年京都大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$

$S_1=3$
$S_{n+1}-5S_n=3･2^{n+1}-3$
一般項$a_n$を求めよ.

問題文全文(内容文)：
nを自然数とするとき、数学的帰納法を用いて、次の等式を証明せよ。
1/2!+2/3!+3/4!+...+n/(n+1)!=1-1/(n+1)!