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内積に関して解説していきます.

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【共テ数学IIB】解答時間短縮裏技集　紹介動画です（指数・対数、微分積分、数列、ベクトル）

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平行四辺形の3つの頂点が$A(1,3),B(2,5),C(5,1)$のとき、第$4$の頂点$D$の座標を求めよ。

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4 放物線$y=x^2$ のうち$-1\leqq x\leqq 1$をみたす部分を C とする。座標平面上の原点Oと点A(１，0)を考える。
( 1 )点 P が C 上を動くとき、$\overrightarrow{OQ}=2\overrightarrow{OP}$　をみたす点 Q の軌跡を求めよ。
( 2 )点 P が C 上を動き、点 R が線分 OA 上を動くとき$\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{2OP}＋\overrightarrow{OR}$をみたす点 S が動く領域を座標平面上に図示し、その面積を求めよ。

2018東京大学文過去問

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問題1
$\mathrm{△}\mathrm{O}\mathrm{A}\mathrm{B}$において、辺$\mathrm{O}\mathrm{B}$の中点を$\mathrm{M}$辺$\mathrm{A}\mathrm{B}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{C}$、辺$\mathrm{O}\mathrm{A}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{D}$、線分$\mathrm{C}\mathrm{M}$と線分$\mathrm{B}\mathrm{D}$の交点を$\mathrm{P}$とする。また、$\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{B}}=\overrightarrow{b}$とする。
(1)$\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}$を$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$を用いて表せ。
(2)直線$\mathrm{O}\mathrm{P}$と辺$\mathrm{A}\mathrm{B}$の交点を$\mathrm{Q}$とするとき、$\mathrm{A}\mathrm{Q}:\mathrm{Q}\mathrm{B}$を求めよ。

問題2
$\mathrm{O}\mathrm{A}=3,\mathrm{O}\mathrm{C}=2$である長方形$\mathrm{O}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$がある。辺$\mathrm{O}\mathrm{A}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$、辺$\mathrm{A}\mathrm{B}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とするとき、$\mathrm{C}\mathrm{D}\perp \mathrm{O}\mathrm{E}$であることを証明せよ。

問題3
鋭角三角形$\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$の外心を$\mathrm{O}$、辺$\mathrm{B}\mathrm{C}$の中点を$\mathrm{M}$とする。頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{B}\mathrm{C}$に垂線$\mathrm{A}\mathrm{N}$を下ろし、線分$\mathrm{A}\mathrm{N}$上に点$\mathrm{H}$を$\mathrm{A}\mathrm{H}=2\mathrm{O}\mathrm{M}$となるようにとると、$\mathrm{H}$は$\mathrm{△}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$の垂心であることを証明せよ。

問題4
$\mathrm{O}\mathrm{A}=6,\mathrm{O}\mathrm{B}=4,\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{O}\mathrm{B}=60°$である$\mathrm{△}\mathrm{O}\mathrm{A}\mathrm{B}$において、頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{O}\mathrm{B}$に垂線$\mathrm{A}\mathrm{C}$，頂点$\mathrm{B}$から辺$\mathrm{O}\mathrm{A}$に垂線$\mathrm{B}\mathrm{D}$を下ろす。線分$\mathrm{A}\mathrm{C}$と線分$\mathrm{B}\mathrm{D}$の交点を$\mathrm{H}$とするとき、$\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{H}}$を$\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}},\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{B}}$を用いて表せ。