福田の数学〜上智大学2022年理工学部第3問〜複素数平面上の点列と三角形の相似 - 質問解決D.B.(データベース)

福田の数学〜上智大学2022年理工学部第3問〜複素数平面上の点列と三角形の相似

問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\large\boxed{3}}\ 複素数からなる数列{z_n}を、次の条件で定める。\hspace{150pt}\\
z_1=0,\ \ \ z_{n+1}=(1+i)z_n-i \ \ \ (i=1,2,3, \ \ ...)\\
正の整数nに対し、z_nに対応する負素数平面上の点をA_nとおく。\\
(1)z_2=\boxed{\ \ ツ \ \ }+\boxed{\ \ ツ \ \ }\ i, \ \ \ z_3=\boxed{\ \ ト \ \ }+\boxed{\ \ ナ \ \ }\ i,\ \ \ z_4=\boxed{\ \ 二 \ \ }+\boxed{\ \ ヌ \ \ }\ i \ \ である。\\
(2)r \gt 0,\ 0 \leqq θ \lt 2\pi を用いて、1+i=r(\cos θ+i\sin θ)のように1+iを極形式で\\
表すとき、r=\sqrt{\boxed{\ \ ネ \ \ }},\ θ=\frac{\boxed{\ \ ノ \ \ }}{\boxed{\ \ ハ \ \ }}\piである。\\
(3)すべての正の整数nに対する\triangle PA_nA_{n+1}が互いに相似になる点Pに対応する\\
複素数は、\boxed{\ \ ヒ\ \ }+\boxed{\ \ フ \ \ }\ iである。\\
(4)|z_n| \gt 1000となる最小のnはn=\boxed{\ \ へ \ \ }である。\\
(5)A_{2022+k}が実軸上にある最小の正の整数kはk=\boxed{\ \ ホ \ \ }である。
\end{eqnarray}
単元: #大学入試過去問(数学)#複素数平面#数列#漸化式#図形への応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)#数B#数C
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\large\boxed{3}}\ 複素数からなる数列{z_n}を、次の条件で定める。\hspace{150pt}\\
z_1=0,\ \ \ z_{n+1}=(1+i)z_n-i \ \ \ (i=1,2,3, \ \ ...)\\
正の整数nに対し、z_nに対応する負素数平面上の点をA_nとおく。\\
(1)z_2=\boxed{\ \ ツ \ \ }+\boxed{\ \ ツ \ \ }\ i, \ \ \ z_3=\boxed{\ \ ト \ \ }+\boxed{\ \ ナ \ \ }\ i,\ \ \ z_4=\boxed{\ \ 二 \ \ }+\boxed{\ \ ヌ \ \ }\ i \ \ である。\\
(2)r \gt 0,\ 0 \leqq θ \lt 2\pi を用いて、1+i=r(\cos θ+i\sin θ)のように1+iを極形式で\\
表すとき、r=\sqrt{\boxed{\ \ ネ \ \ }},\ θ=\frac{\boxed{\ \ ノ \ \ }}{\boxed{\ \ ハ \ \ }}\piである。\\
(3)すべての正の整数nに対する\triangle PA_nA_{n+1}が互いに相似になる点Pに対応する\\
複素数は、\boxed{\ \ ヒ\ \ }+\boxed{\ \ フ \ \ }\ iである。\\
(4)|z_n| \gt 1000となる最小のnはn=\boxed{\ \ へ \ \ }である。\\
(5)A_{2022+k}が実軸上にある最小の正の整数kはk=\boxed{\ \ ホ \ \ }である。
\end{eqnarray}
投稿日:2022.10.19

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\begin{eqnarray}
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\overbrace{ 210210\cdots210_{(3)}}^{ 3n桁 }              \\
がある(ただし、nは自然数とする)。この数は、1 \leqq k \leqq nを満たす全て\\
の自然数kに対して、最小の位から数えて3k番目の位の数が2、3k-1番目の位\\
の数が1、3k-2番目の位の数が0である。この数を10進法で表した数をa_n\\
とおく。\\
(\textrm{i})a_2=\boxed{\ \ ク\ \ }\ である。\\
(\textrm{ii})a_nをnの式で表すと、\boxed{\ \ ケ\ \ }\ である。
\end{eqnarray}
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