大学入試問題#582「ガチンコでぶつかると危険」東京帝国大学(1946) 不定積分

大学入試問題#582「ガチンコでぶつかると危険」　東京帝国大学(1946)　不定積分

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int \displaystyle \frac{dx}{x-\sqrt{ x^2-1 }}$

出典：1946年東京帝国大学　入試問題

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int \displaystyle \frac{dx}{x-\sqrt{ x^2-1 }}$

出典：1946年東京帝国大学　入試問題

投稿日：2023.07.06

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指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
【鳥取大学 2023】
負でない整数$n=0,1,2,･･･$と正の実数$x＞0$に対し、
$\displaystyle I_n=\frac{1}{n!}\int_0^xt^ne^{-t}dt$
とおく。以下の問いに答えよ。
(1) $I_0,I_1$を求めよ。
(2) $n=1,2,3,･･･$に対し、$I_n$と$I_{n-1}$の関係式を求めよ。
(3) $I_n(n=0,1,2,･･･)$を求めよ。

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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：
$(x-1)^7-(x^7-1)$を実数係数の範囲で因数分解せよ

出典：数検1級1次

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指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：
自然数$n$に対して、定積分$I_n$を$I_n=\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\sin^nx\ dx$で定める。
$n \geqq 3$のとき、$I_n$を$I_{n-2}$と$n$を用いて表せ。
また、$I_2・I_4$の値を求めよ。

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問題文全文(内容文)：
次の各問いに答えよ。
（1）
$0 \leqq x \leqq \displaystyle \frac{\pi}{2}$のとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。
$\displaystyle \frac{2x}{\pi} \leqq \sin\ x$

（2）
次の不等式が成り立つことを証明せよ。
$\displaystyle \int_{0}^{\pi}e^{-\sin\ x}dx \leqq \pi\left[ 1-\dfrac{ 1 }{ e } \right]$

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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：
（1）
$0 \leqq x \leqq \displaystyle \frac{\pi}{2}$のとき
$\sin\ x \geqq \displaystyle \frac{2}{\pi}x$を示せ

（2）
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-n\ \sin\ x}dx=0$を示せ

出典：2009年大阪市立大学　入試問題

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