福田の数学〜東京大学2025理系第3問〜平行四辺形を囲む長方形の面積の最大値 - 質問解決D.B.(データベース)

福田の数学〜東京大学2025理系第3問〜平行四辺形を囲む長方形の面積の最大値

問題文全文(内容文):

$\boxed {3} $

平面四辺形$ABCD$において、

$\angle ABC = \dfrac {\pi} {6} , AB = a , BC = b , a \leqq b$とする。

次の条件を満たす長方形$EFGH$を考え、

その面積を$S$とする。

条件:点$A,B,C,D$はそれぞれ

$\quad$辺$EF,FG,GH,HE$上にある。

$\quad$ただし、辺はその両端の点も含むものとする。

(1)$\angle BCG=\theta$とするとき、

$S$を$a,b,\theta$を用いて表せ。

(2)$S$とりうる値の最大値を$a,b$を用いて表せ。

$2025$年東京大学理系過去問題
単元: #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)
指導講師: JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文):

$\boxed {3} $

平面四辺形$ABCD$において、

$\angle ABC = \dfrac {\pi} {6} , AB = a , BC = b , a \leqq b$とする。

次の条件を満たす長方形$EFGH$を考え、

その面積を$S$とする。

条件:点$A,B,C,D$はそれぞれ

$\quad$辺$EF,FG,GH,HE$上にある。

$\quad$ただし、辺はその両端の点も含むものとする。

(1)$\angle BCG=\theta$とするとき、

$S$を$a,b,\theta$を用いて表せ。

(2)$S$とりうる値の最大値を$a,b$を用いて表せ。

$2025$年東京大学理系過去問題
投稿日:2025.02.27

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$\alpha=\displaystyle \frac{\sqrt{ 2 }}{2}+\displaystyle \frac{\sqrt{ 2 }}{2}i,\beta=-\displaystyle \frac{\sqrt{ 3 }}{2}+\displaystyle \frac{1}{2}i$
(1)
$\alpha^{n}=\beta^n=1$を満たす最小の自然数$n$


(2)
$n$自然数、$1 \leqq n \leqq 20$
$|\alpha^n+\beta^n|$の最小値とそのときの$n$の値は?

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$2$本ずつのなす角が

$\alpha,\beta,\gamma(0° \lt \alpha \leqq \beta \leqq \gamma \leqq 180°)$

であり、この$3$本の光線は同一平面上にない。

$\sin\dfrac{\alpha}{2}+\sin\dfrac{\beta}{2} \gt \sin\dfrac{\gamma}{2}$

を証明せよ。
    
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