図形と方程式
図形と方程式
2点 A(−1, 0), B(4, 0) と点 P を頂点とする △PAB が、PA：PB=1：4 を満たしながら変化するとき、点 P の軌跡を求めよ。【数Ⅱ｜図形と方程式｜軌跡と方程式】
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#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
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$2$ 点 $A(-1,0)$、$B(4,0)$ と点 $P$ を頂点とする $\triangle PAB$ が、$PA:PB=1:4$ を満たしながら変化するとき、点 $P$ の軌跡を求めよ。
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$2$ 点 $A(-1,0)$、$B(4,0)$ と点 $P$ を頂点とする $\triangle PAB$ が、$PA:PB=1:4$ を満たしながら変化するとき、点 $P$ の軌跡を求めよ。
点(0, −2)との距離と、直線 y=2 との距離が等しい点の軌跡を求めよ。【数Ⅱ｜図形と方程式｜軌跡と方程式】
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#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
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点 $(0,-2)$ との距離と、直線 $y=2$ との距離が等しい点の軌跡を求めよ。
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点 $(0,-2)$ との距離と、直線 $y=2$ との距離が等しい点の軌跡を求めよ。
次のような点Pの軌跡を求めよ。・ 点A(1, 3)と直線 x−2y−1=0 上の点Qを結ぶ線分AQの中点P・ 点A(5, 0)と円 (x+1)²+y²=16 上の点Qを結ぶ線分AQの中点P・ 2点A(4, 0), B(2, 3)と円 x²+y²=1 上の点Qを頂点とする三角形の重心P・ 点A(2, −2)と放物線 y=x² 上の点Qを結ぶ線分AQを1:2に内分する点P【数Ⅱ｜図形と方程式｜軌跡と方程式】
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#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
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次のような点 $P$ の軌跡を求めよ。
・ 点 $A(1,3)$ と直線 $x-2y-1=0$ 上の点 $Q$ を結ぶ線分 $AQ$ の中点 $P$
・ 点 $A(5,0)$ と円 $(x+1)^{2}+y^{2}=16$ 上の点 $Q$ を結ぶ線分 $AQ$ の中点 $P$
・ 2点 $A(4,0)$、$B(2,3)$ と円 $x^{2}+y^{2}=1$ 上の点 $Q$ を頂点とする三角形の重心 $P$
・ 点 $A(2,-2)$ と放物線 $y=x^{2}$ 上の点 $Q$ を結ぶ線分 $AQ$ を $1:2$ に内分する点 $P$
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次のような点 $P$ の軌跡を求めよ。
・ 点 $A(1,3)$ と直線 $x-2y-1=0$ 上の点 $Q$ を結ぶ線分 $AQ$ の中点 $P$
・ 点 $A(5,0)$ と円 $(x+1)^{2}+y^{2}=16$ 上の点 $Q$ を結ぶ線分 $AQ$ の中点 $P$
・ 2点 $A(4,0)$、$B(2,3)$ と円 $x^{2}+y^{2}=1$ 上の点 $Q$ を頂点とする三角形の重心 $P$
・ 点 $A(2,-2)$ と放物線 $y=x^{2}$ 上の点 $Q$ を結ぶ線分 $AQ$ を $1:2$ に内分する点 $P$
円 x²+y²+2x+4y−4=0 と直線 7x−y+2=0 の2つの交点と点(−1, 2)を通る円の中心と半径を求めよ。【数Ⅱ｜図形と方程式｜２つの円】
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#数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)
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円 $x^{2}+y^{2}+2x+4y-4=0$ と直線 $7x-y+2=0$ の $2$ つの交点と点 $(-1,2)$ を通る円の中心と半径を求めよ。
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円 $x^{2}+y^{2}+2x+4y-4=0$ と直線 $7x-y+2=0$ の $2$ つの交点と点 $(-1,2)$ を通る円の中心と半径を求めよ。
2つの円 x²+y²=4, x²+y²−4x−2y+1=0 の2つの交点と点(1, −1)を通る円の中心と半径を求めよ。また、2つの円の2つの交点を通る直線の方程式を求めよ。【数Ⅱ｜図形と方程式｜２つの円】
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#数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)
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$2$ つの円 $x^{2}+y^{2}=4$、$x^{2}+y^{2}-4x-2y+1=0$ の $2$ つの交点と点 $(1,-1)$ を通る円の中心と半径を求めよ。また、$2$ つの円の $2$ つの交点を通る直線の方程式を求めよ。
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$2$ つの円 $x^{2}+y^{2}=4$、$x^{2}+y^{2}-4x-2y+1=0$ の $2$ つの交点と点 $(1,-1)$ を通る円の中心と半径を求めよ。また、$2$ つの円の $2$ つの交点を通る直線の方程式を求めよ。
次の2つの円の共通接線の方程式を求めよ。x^2 + y^2 = 9, (x - 2)^2 + y^2 = 4【数II｜図形と方程式｜2つの円の位置関係と共通接線】
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#数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)
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次の2つの円の共通接線の方程式を求めよ。$x^2 + y^2 = 9$, $(x - 2)^2 + y^2 = 4$
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次の2つの円の共通接線の方程式を求めよ。$x^2 + y^2 = 9$, $(x - 2)^2 + y^2 = 4$
次の2つの円の共通接線の方程式を求めよ。x^2 + y^2 = 1, x^2 + (y - 6)^2 = 9【数II｜図形と方程式｜2つの円の位置関係と共通接線】
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#数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)
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次の2つの円の共通接線の方程式を求めよ。$x^2 + y^2 = 1$, $x^2 + (y - 6)^2 = 9$
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次の2つの円の共通接線の方程式を求めよ。$x^2 + y^2 = 1$, $x^2 + (y - 6)^2 = 9$
2点A（-1, 4）, B（3, 2）を結ぶ線分ABの垂直二等分線の方程式を求めよ。【数II｜図形と方程式｜直線の方程式】
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#数Ⅱ#図形と方程式#点と直線#数学(高校生)
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2点 A (-1, 4), B (3, 2) を結ぶ線分ABの垂直二等分線の方程式を求めよ。
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2点 A (-1, 4), B (3, 2) を結ぶ線分ABの垂直二等分線の方程式を求めよ。
次の2つの円の共有点の座標を求めよ。・x²+y²=5、x²+y²−4x−4y+7=0 ・x²+y²−4y−4=0、x²+y²−2x=0 【数Ⅱ｜図形と方程式｜２つの円】
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#数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)
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問題文全文(内容文)：
次の $2$ つの円の共有点の座標を求めよ。
・ $x^{2}+y^{2}=5$、$x^{2}+y^{2}-4x-4y+7=0$
・ $x^{2}+y^{2}-4y-4=0$、$x^{2}+y^{2}-2x=0$
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次の $2$ つの円の共有点の座標を求めよ。
・ $x^{2}+y^{2}=5$、$x^{2}+y^{2}-4x-4y+7=0$
・ $x^{2}+y^{2}-4y-4=0$、$x^{2}+y^{2}-2x=0$
2つの円 x²+y²=r² と x²+y²−6x+4y+4=0 が異なる2つの共有点を持つように、定数rの値の範囲を求めよ。ただし、r＞0 とする。【数Ⅱ｜図形と方程式｜２つの円】
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#数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)
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$2$ つの円 $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ と $x^{2}+y^{2}-6x+4y+4=0$ が異なる $2$ つの共有点を持つように、定数 $r$ の値の範囲を求めよ。ただし、$r>0$ とする。
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$2$ つの円 $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ と $x^{2}+y^{2}-6x+4y+4=0$ が異なる $2$ つの共有点を持つように、定数 $r$ の値の範囲を求めよ。ただし、$r>0$ とする。
次の円の方程式を求めよ。・中心が点(2, 2)で、円 x²+y²−2y−19=0 と接する円 ・中心が点(−1, 7)で、円 x²+y²−8x+10y+16=0 と接する円【数Ⅱ｜図形と方程式｜２つの円】
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#数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)
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次の円の方程式を求めよ。
・ 中心が点 $(2,2)$ で、円 $x^{2}+y^{2}-2y-19=0$ と接する円
・ 中心が点 $(-1,7)$ で、円 $x^{2}+y^{2}-8x+10y+16=0$ と接する円
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次の円の方程式を求めよ。
・ 中心が点 $(2,2)$ で、円 $x^{2}+y^{2}-2y-19=0$ と接する円
・ 中心が点 $(-1,7)$ で、円 $x^{2}+y^{2}-8x+10y+16=0$ と接する円
a を実数の定数とする。実数 x についての 2 つの不等式|x - 2| ＜= 1 ・・・ ①x^2 - (2a + 5)x + 10a ＜= 0 ・・・ ②がある。・① を解け【質問解決D.B.アプリからの動画作成リクエスト】
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#数Ⅰ#数Ⅱ#数と式#２次関数#一次不等式（不等式・絶対値のある方程式・不等式）#2次方程式と2次不等式#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)
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$a$ を実数の定数とする。実数 $x$ についての $2$ つの不等式
$\begin{aligned} &\vert{}x - 2\vert{} \le 1 & \cdots \text{①} \\ &x^2 - (2a + 5)x + 10a \le 0 & \cdots \text{②} \end{aligned}$
がある。・① を解け。・ $a = 1$ のとき, ② を解け。・ $a$ の値で場合に分けることにより, ② を解け。また, ① かつ ② を満たす実数 $x$ が存在するような $a$ の値の範囲を求めよ。
$m$ を実数の定数とする。$xy$ 平面上に,
$\begin{aligned} &\text{円 } C : x^2 + y^2 - 2x - 2y - 2 = 0, \\ &\text{直線 } l : mx - y - 3m + 5 = 0 \end{aligned}$
があり, $C$ の中心を $\mathrm{A}$, 半径を $r$ とする。また, $l$ が $m$ の値にかかわらず通る点を $\mathrm{P}$ とする。・ $\mathrm{A}$ の座標と $r$ の値を求めよ。・ $\mathrm{P}$ の座標を求めよ。・ $C$ と $l$ が接するような $m$ の値を求めよ。また, このときの $C$ と $l$ の接点を $\mathrm{Q}$ とし, $\mathrm{R}(0, 4)$ とする。三角形 $\mathrm{PQR}$ の面積を求めよ。
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$a$ を実数の定数とする。実数 $x$ についての $2$ つの不等式
$\begin{aligned} &\vert{}x - 2\vert{} \le 1 & \cdots \text{①} \\ &x^2 - (2a + 5)x + 10a \le 0 & \cdots \text{②} \end{aligned}$
がある。・① を解け。・ $a = 1$ のとき, ② を解け。・ $a$ の値で場合に分けることにより, ② を解け。また, ① かつ ② を満たす実数 $x$ が存在するような $a$ の値の範囲を求めよ。
$m$ を実数の定数とする。$xy$ 平面上に,
$\begin{aligned} &\text{円 } C : x^2 + y^2 - 2x - 2y - 2 = 0, \\ &\text{直線 } l : mx - y - 3m + 5 = 0 \end{aligned}$
があり, $C$ の中心を $\mathrm{A}$, 半径を $r$ とする。また, $l$ が $m$ の値にかかわらず通る点を $\mathrm{P}$ とする。・ $\mathrm{A}$ の座標と $r$ の値を求めよ。・ $\mathrm{P}$ の座標を求めよ。・ $C$ と $l$ が接するような $m$ の値を求めよ。また, このときの $C$ と $l$ の接点を $\mathrm{Q}$ とし, $\mathrm{R}(0, 4)$ とする。三角形 $\mathrm{PQR}$ の面積を求めよ。
次の不等式を同時に満たす整数の組（x，y）をすべて求めよ。x²+y²−2x+4y＜4， 2y−x+3≧0【図形と方程式｜軌跡と領域】
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#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
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問題文全文(内容文)：
次の不等式を同時に満たす整数の組（x，y）をすべて求めよ。
x²+y²−2x+4y＜4， 2y−x+3≧0
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次の不等式を同時に満たす整数の組（x，y）をすべて求めよ。
x²+y²−2x+4y＜4， 2y−x+3≧0
x，y は実数とする。次のことを証明せよ。（1） x²+y²＜25 ならば 3x+4y＜25（2） x²+y²＜4 ならば x²+y²−8x+12＞0 他1問【図形と方程式｜軌跡と領域】
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#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
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問題文全文(内容文)：
$x$、$y$ は実数とする。次のことを証明せよ。
(1) $x^2+y^2<25$ ならば $3x+4y<25$
(2) $x^2+y^2<4$ ならば $x^2+y^2-8x+12>0$
(3) $x+y>\sqrt{2}$ ならば $x^2+y^2>1$
```
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$x$、$y$ は実数とする。次のことを証明せよ。
(1) $x^2+y^2<25$ ならば $3x+4y<25$
(2) $x^2+y^2<4$ ならば $x^2+y^2-8x+12>0$
(3) $x+y>\sqrt{2}$ ならば $x^2+y^2>1$
```
x，y が2つの不等式 x²+y²≦4，y≧0 を満たすとき，2x−y の最大値，最小値を求めよ。【図形と方程式｜軌跡と領域】
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#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
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問題文全文(内容文)：
x，y が2つの不等式 x²+y²≦4，y≧0 を満たすとき，2x−y の最大値，最小値を求めよ。
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x，y が2つの不等式 x²+y²≦4，y≧0 を満たすとき，2x−y の最大値，最小値を求めよ。
2種類の薬品P，Qがある。その1gについて，Aを12mg以上，Bを15mg以上とる必要があるとき，その費用を最小にするには，P，Qをそれぞれ何gとればよいか。【図形と方程式｜軌跡と領域】
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#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
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問題文全文(内容文)：
2種類の薬品P，Qがある。その1gについて，A成分，B成分の量と価格は，それぞれ右の表の通りである。
A成分 B成分 価格
P 2mg 1mg 4円
Q 1mg 2mg 6円
Aを12mg以上，Bを15mg以上とる必要があるとき，その費用を最小にするには，P，Qをそれぞれ何gとればよいか。
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2種類の薬品P，Qがある。その1gについて，A成分，B成分の量と価格は，それぞれ右の表の通りである。
A成分 B成分 価格
P 2mg 1mg 4円
Q 1mg 2mg 6円
Aを12mg以上，Bを15mg以上とる必要があるとき，その費用を最小にするには，P，Qをそれぞれ何gとればよいか。
（1） x，y が4つの不等式 x≧0，y≧0，2x+y≦5，x+3y≦6 を満たすとき，x+y の最大値および最小値を求めよ。他1問【図形と方程式｜軌跡と領域】
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#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
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問題文全文(内容文)：
（1） x，y が4つの不等式 x≧0，y≧0，2x+y≦5，x+3y≦6 を満たすとき，x+y の最大値および最小値を求めよ。
（2） x，y が3つの不等式 x+y≦6，2x+y≧6，x+2y≧4 を満たすとき，2x+3y の最大値および最小値を求めよ。
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（1） x，y が4つの不等式 x≧0，y≧0，2x+y≦5，x+3y≦6 を満たすとき，x+y の最大値および最小値を求めよ。
（2） x，y が3つの不等式 x+y≦6，2x+y≧6，x+2y≧4 を満たすとき，2x+3y の最大値および最小値を求めよ。
3頂点が A（2，0），B（−3，4），C（−3，−1）である三角形の内部および周上を表す連立不等式を求めよ。【図形と方程式｜軌跡と領域】
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#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
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問題文全文(内容文)：
3頂点が A（2，0），B（−3，4），C（−3，−1）である三角形の内部および周上を表す連立不等式を求めよ。
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3頂点が A（2，0），B（−3，4），C（−3，−1）である三角形の内部および周上を表す連立不等式を求めよ。
右の図の斜線部分は，どのような連立不等式の表す領域か。ただし，（1）は境界線を含まず，（2）は境界線を含むものとする。※図は動画内参照【図形と方程式｜軌跡と領域】
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#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
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問題文全文(内容文)：
右の図の斜線部分は，どのような連立不等式の表す領域か。ただし，（1）は境界線を含まず，（2）は境界線を含むものとする。
※図は動画内参照
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右の図の斜線部分は，どのような連立不等式の表す領域か。ただし，（1）は境界線を含まず，（2）は境界線を含むものとする。
※図は動画内参照
次の不等式，連立不等式の表す領域を図示せよ。（1） （3x−2y−2）（2x+3y+3）＜0 x−5y+8≧0（2） x²+y²≦4 （y−2x）（y+2x）＜0他【図形と方程式｜軌跡と領域】
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問題文全文(内容文)：
次の不等式，連立不等式の表す領域を図示せよ。
（1） （3x−2y−2）（2x+3y+3）＜0
x−5y+8≧0
（2） x²+y²≦4
（y−2x）（y+2x）＜0
（3） 1＜x²+y²≦9
（4） （x²−y）（1−x²−y²）≦0
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次の不等式，連立不等式の表す領域を図示せよ。
（1） （3x−2y−2）（2x+3y+3）＜0
x−5y+8≧0
（2） x²+y²≦4
（y−2x）（y+2x）＜0
（3） 1＜x²+y²≦9
（4） （x²−y）（1−x²−y²）≦0
承知しました。不等号も全角で表記します。次の不等式の表す領域を図示せよ。（1） y≦−x²+4（2） y＞−2x²+4x（3） y≦2x²−4x+3【図形と方程式｜軌跡と領域】
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次の不等式の表す領域を図示せよ。
（1） y≦−x²+4
（2） y＞−2x²+4x
（3） y≦2x²−4x+3
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次の不等式の表す領域を図示せよ。
（1） y≦−x²+4
（2） y＞−2x²+4x
（3） y≦2x²−4x+3
直線 y=2x+k が放物線 y=3x−x² と異なる2点P，Qで交わるとする。（1） 定数kの値の範囲を求めよ。また，線分PQの中点Mの座標をkで表せ。他1問【図形と方程式｜軌跡と領域】
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直線 y=2x+k が放物線 y=3x−x² と異なる2点P，Qで交わるとする。
（1） 定数kの値の範囲を求めよ。また，線分PQの中点Mの座標をkで表せ。
（2） kの値が変化するとき，線分PQの中点Mの軌跡を求めよ。
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直線 y=2x+k が放物線 y=3x−x² と異なる2点P，Qで交わるとする。
（1） 定数kの値の範囲を求めよ。また，線分PQの中点Mの座標をkで表せ。
（2） kの値が変化するとき，線分PQの中点Mの軌跡を求めよ。
m が実数全体を動くとき，放物線 y=x²−2mx+1 の頂点Pの軌跡を求めよ。【図形と方程式｜軌跡と領域】
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m が実数全体を動くとき，放物線 y=x²−2mx+1 の頂点Pの軌跡を求めよ。
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m が実数全体を動くとき，放物線 y=x²−2mx+1 の頂点Pの軌跡を求めよ。
t が実数全体を動くとき，次の点（x，y）はどのような図形上にあるか。（1） x=t+1，y=−3t+2（2） x=2t−1，y=t²−t+3【図形と方程式｜軌跡と領域】
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t が実数全体を動くとき，次の点（x，y）はどのような図形上にあるか。（1） x=t+1，y=−3t+2（2） x=2t−1，y=t²−t+3
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t が実数全体を動くとき，次の点（x，y）はどのような図形上にあるか。（1） x=t+1，y=−3t+2（2） x=2t−1，y=t²−t+3
次の直線の方程式を求めよ（1）2直線 3x+2y−5=0，2x−3y+4=0 のなす角の二等分線のうちで，傾きが正の直線（2）直線 y=2x に関して，直線 2x+3y=6【図形と方程式｜軌跡と領域】
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次の直線の方程式を，軌跡の考えを用いて求めよ。
（1） 2直線 3x+2y−5=0，2x−3y+4=0 のなす角の二等分線のうちで，傾きが正の直線
（2） 直線 y=2x に関して，直線 2x+3y=6 と対称な直線
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次の直線の方程式を，軌跡の考えを用いて求めよ。
（1） 2直線 3x+2y−5=0，2x−3y+4=0 のなす角の二等分線のうちで，傾きが正の直線
（2） 直線 y=2x に関して，直線 2x+3y=6 と対称な直線
1辺の長さが2である正方形ABCDがある。AP²+BP²+CP²+DP²=16 を満たす点Pの軌跡を求めよ。【図形と方程式｜軌跡と領域】
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1辺の長さが2である正方形ABCDがある。AP²+BP²+CP²+DP²=16 を満たす点Pの軌跡を求めよ。
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1辺の長さが2である正方形ABCDがある。AP²+BP²+CP²+DP²=16 を満たす点Pの軌跡を求めよ。
AB=2 である2定点A，Bに対して，条件 AP²−BP²=1 を満たす点Pの軌跡を求めよ。【図形と方程式｜軌跡と領域】
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AB=2 である2定点A，Bに対して，条件 AP²−BP²=1 を満たす点Pの軌跡を求めよ。
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AB=2 である2定点A，Bに対して，条件 AP²−BP²=1 を満たす点Pの軌跡を求めよ。
2点 A（−1，0），B（4，0）と点Pを頂点とする△PABが，PA：PB=1：4 を満たしながら変化するとき，点Pの軌跡を求めよ。【図形と方程式｜軌跡と領域】
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2点 A（−1，0），B（4，0）と点Pを頂点とする△PABが，PA：PB=1：4 を満たしながら変化するとき，点Pの軌跡を求めよ。
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2点 A（−1，0），B（4，0）と点Pを頂点とする△PABが，PA：PB=1：4 を満たしながら変化するとき，点Pの軌跡を求めよ。
点（0，−2）との距離と，直線 y=2 との距離が等しい点の軌跡を求めよ。【図形と方程式｜軌跡と領域】
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点（0，−2）との距離と，直線 y=2 との距離が等しい点の軌跡を求めよ。
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点（0，−2）との距離と，直線 y=2 との距離が等しい点の軌跡を求めよ。
次のような点Pの軌跡を求めよ（1）点A（1，3）と直線 x−2y−1=0 上の点Qを結ぶ線分AQの中点P（2）点A（5，0）と円 （x+1）²+y²=16 上の点Qを…他【図形と方程式｜軌跡と領域】
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次のような点Pの軌跡を求めよ。
（1） 点A（1，3）と直線 x−2y−1=0 上の点Qを結ぶ線分AQの中点P
（2） 点A（5，0）と円 （x+1）²+y²=16 上の点Qを結ぶ線分AQの中点P
（3） 2点A（4，0），B（2，3）と円 x²+y²=1 上の点Qを頂点とする三角形の重心P
（4） 点A（2，−2）と放物線 y=x² 上の点Qを結ぶ線分AQを 1：2 に内分する点P
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次のような点Pの軌跡を求めよ。
（1） 点A（1，3）と直線 x−2y−1=0 上の点Qを結ぶ線分AQの中点P
（2） 点A（5，0）と円 （x+1）²+y²=16 上の点Qを結ぶ線分AQの中点P
（3） 2点A（4，0），B（2，3）と円 x²+y²=1 上の点Qを頂点とする三角形の重心P
（4） 点A（2，−2）と放物線 y=x² 上の点Qを結ぶ線分AQを 1：2 に内分する点P