図形と方程式
図形と方程式
円 x²+y²+2x+4y−4=0 と直線 7x−y+2=0 の2つの交点と点（−1，2）を通る円の中心と半径を求めよ。【図形と方程式｜円と方程式】
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
円 x²+y²+2x+4y−4=0 と直線 7x−y+2=0 の2つの交点と点（−1，2）を通る円の中心と半径を求めよ。
この動画を見る
円 x²+y²+2x+4y−4=0 と直線 7x−y+2=0 の2つの交点と点（−1，2）を通る円の中心と半径を求めよ。
2つの円 x²+y²=4，x²+y²−4x−2y+1=0 の2つの交点と点（1，−1）を通る円の中心と半径を求めよ。また，2つの円の2つの交点を通る直線の方程式を求めよ。【図形と方程式｜円と方程式】
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
2つの円 x²+y²=4，x²+y²−4x−2y+1=0 の2つの交点と点（1，−1）を通る円の中心と半径を求めよ。また，2つの円の2つの交点を通る直線の方程式を求めよ。
この動画を見る
2つの円 x²+y²=4，x²+y²−4x−2y+1=0 の2つの交点と点（1，−1）を通る円の中心と半径を求めよ。また，2つの円の2つの交点を通る直線の方程式を求めよ。
次の2つの円の共有点の座標を求めよ。(1) x²+y²=5，x²+y²−4x−4y+7=0(2) x²+y²−4y−4=0，x²+y²−2x=0【図形と方程式｜円と方程式】
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の2つの円の共有点の座標を求めよ。
(1) x²+y²=5，x²+y²−4x−4y+7=0
(2) x²+y²−4y−4=0，x²+y²−2x=0
この動画を見る
次の2つの円の共有点の座標を求めよ。
(1) x²+y²=5，x²+y²−4x−4y+7=0
(2) x²+y²−4y−4=0，x²+y²−2x=0
2つの円 x²+y²=r²，x²+y²−6x+4y+4=0 が異なる2つの共有点をもつように，定数rの値の範囲を定めよ。ただし，r＞0 とする。【図形と方程式｜円と方程式】
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
2つの円 x²+y²=r²，x²+y²−6x+4y+4=0 が異なる2つの共有点をもつように，定数rの値の範囲を定めよ。ただし，r＞0 とする。
この動画を見る
2つの円 x²+y²=r²，x²+y²−6x+4y+4=0 が異なる2つの共有点をもつように，定数rの値の範囲を定めよ。ただし，r＞0 とする。
次の円の方程式を求めよ(1)中心が点(2，2)で，円 x²+y²−2y−19=0 と接する円(2)中心が点(−1，7)で、円 x²+y²−8x+10y+16=0 と接する円【図形と方程式｜円と方程式】
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の円の方程式を求めよ。
(1) 中心が点(2，2)で，円 x²+y²−2y−19=0 と接する円
(2) 中心が点(−1，7)で，円 x²+y²−8x+10y+16=0 と接する円
この動画を見る
次の円の方程式を求めよ。
(1) 中心が点(2，2)で，円 x²+y²−2y−19=0 と接する円
(2) 中心が点(−1，7)で，円 x²+y²−8x+10y+16=0 と接する円
次の円の方程式を求めよ(1)点(3，0)を中心とし、直線 4x−3y−2=0 に接する円(2) 中心がx軸の上側にあり、x軸と直線 x+y=1 に接し、半径が3である円・他【図形と方程式｜円と方程式】
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の円の方程式を求めよ。
(1) 点(3，0)を中心とし、直線 4x−3y−2=0 に接する円
(2) 中心がx軸の上側にあり、x軸と直線 x+y=1 に接し、半径が3である円
(3) 中心が直線 y=3x 上にあり、直線 2x+y=0 に接し、点(2，1)を通る円
この動画を見る
次の円の方程式を求めよ。
(1) 点(3，0)を中心とし、直線 4x−3y−2=0 に接する円
(2) 中心がx軸の上側にあり、x軸と直線 x+y=1 に接し、半径が3である円
(3) 中心が直線 y=3x 上にあり、直線 2x+y=0 に接し、点(2，1)を通る円
次の点を通り、円 x²+y²=25 に接する2つの直線の接点をA，Bとするとき、直線ABの方程式を求めよ。(1) 点(−1，7)(2) 点(6，8)【図形と方程式｜円と方程式】
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の点を通り、円 x²+y²=25 に接する2つの直線の接点をA，Bとするとき、直線ABの方程式を求めよ。
(1) 点(−1，7)
(2) 点(6，8)
この動画を見る
次の点を通り、円 x²+y²=25 に接する2つの直線の接点をA，Bとするとき、直線ABの方程式を求めよ。
(1) 点(−1，7)
(2) 点(6，8)
次の円の接線の方程式と、その接点の座標を求めよ(1)円 x²+y²+2x+4y−4=0 の接線で、傾きが2のもの(2)円 x²+y²−6x+8=0 の接線で、原点を通るもの【図形と方程式｜円と方程式】
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の円の接線の方程式と、その接点の座標を求めよ。
(1) 円 x²+y²+2x+4y−4=0 の接線で、傾きが2のもの
(2) 円 x²+y²−6x+8=0 の接線で、原点を通るもの
この動画を見る
次の円の接線の方程式と、その接点の座標を求めよ。
(1) 円 x²+y²+2x+4y−4=0 の接線で、傾きが2のもの
(2) 円 x²+y²−6x+8=0 の接線で、原点を通るもの
円 x²+y²+6x−6y+5=0 上の点(−1，0)における接線の方程式を求めよ。【図形と方程式｜円と方程式】
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
円 x²+y²+6x−6y+5=0 上の点(−1，0)における接線の方程式を求めよ。
この動画を見る
円 x²+y²+6x−6y+5=0 上の点(−1，0)における接線の方程式を求めよ。
次の点を通り，与えられた円に接する直線の方程式と，接点の座標を求めよ。(1)点(4，2)，x²+y²=4(2)点(−2，4)，x²+y²=10【図形と方程式｜円と方程式】
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の点を通り，与えられた円に接する直線の方程式と，接点の座標を求めよ。(1)点(4，2)，x²+y²=4(2)点(−2，4)，x²+y²=10
この動画を見る
次の点を通り，与えられた円に接する直線の方程式と，接点の座標を求めよ。(1)点(4，2)，x²+y²=4(2)点(−2，4)，x²+y²=10
直線 4x+3y−5=0 が次の円によって切り取られてできる線分の長さと、線分の中点の座標を求めよ。(1) x²+y²=4(2) x²+y²+4x−2y−1=0【図形と方程式｜円と方程式】
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
直線 4x+3y−5=0 が次の円によって切り取られてできる線分の長さと、線分の中点の座標を求めよ。
(1) x²+y²=4
(2) x²+y²+4x−2y−1=0
この動画を見る
直線 4x+3y−5=0 が次の円によって切り取られてできる線分の長さと、線分の中点の座標を求めよ。
(1) x²+y²=4
(2) x²+y²+4x−2y−1=0
方程式 x²+y²+ax−(a+3)y+1/2a²=0 が円を表すとき(1) 定数aの値の範囲を求めよ。(2) この円の半径が最大になるとき、その大きさと定数aの値を求めよ【図形と方程式｜円と方程式】
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
方程式 $x^2+y^2+ax-(a+3)y+\dfrac{5}{2}a^2=0$ が円を表すとき、
(1) 定数 $a$ の値の範囲を求めよ。
(2) この円の半径が最大になるとき、その大きさと定数 $a$ の値を求めよ。
この動画を見る
方程式 $x^2+y^2+ax-(a+3)y+\dfrac{5}{2}a^2=0$ が円を表すとき、
(1) 定数 $a$ の値の範囲を求めよ。
(2) この円の半径が最大になるとき、その大きさと定数 $a$ の値を求めよ。
(1)円 x²+y²−3x+5y−1=0 と中心が同じで、点(1，2)を通る円(2)点(1，−3)に関して、円 x²+y²=1 と対称な円(3)中心がx軸上にあり、【図形と方程式｜円と方程式】
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の円の方程式を求めよ。
(1) 円 $x^2+y^2-3x+5y-1=0$ と中心が同じで、点 $(1,2)$ を通る円
(2) 点 $(1,-3)$ に関して、円 $x^2+y^2=1$ と対称な円
(3) 中心が $x$ 軸上にあり、2 点 $(3,5)$、$(-3,7)$ を通る円
(4) 中心が直線 $y=x$ 上にあり、半径が $\sqrt{13}$ で点 $(2,1)$ を通る円
(5) 点 $(1,2)$ を通り、$x$ 軸および $y$ 軸に接する円
(6) 3 直線 $x-y=-1$、$x+y=3$、$x+2y=-1$ で作られる三角形の外接円
この動画を見る
次の円の方程式を求めよ。
(1) 円 $x^2+y^2-3x+5y-1=0$ と中心が同じで、点 $(1,2)$ を通る円
(2) 点 $(1,-3)$ に関して、円 $x^2+y^2=1$ と対称な円
(3) 中心が $x$ 軸上にあり、2 点 $(3,5)$、$(-3,7)$ を通る円
(4) 中心が直線 $y=x$ 上にあり、半径が $\sqrt{13}$ で点 $(2,1)$ を通る円
(5) 点 $(1,2)$ を通り、$x$ 軸および $y$ 軸に接する円
(6) 3 直線 $x-y=-1$、$x+y=3$、$x+2y=-1$ で作られる三角形の外接円
x+ay+1=0, ax+(a+2)y+3=0 が次の条件を満たすとき定数aの値をそれぞれ求めよ。(1) 平行である(2)垂直である【数Ⅱ】【図形と方程式｜平面上の点】
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#点と直線#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
x+ay+1=0, ax+(a+2)y+3=0 が次の条件を満たすとき定数aの値をそれぞれ求めよ。
(1)平行である
(2)垂直である
この動画を見る
x+ay+1=0, ax+(a+2)y+3=0 が次の条件を満たすとき定数aの値をそれぞれ求めよ。
(1)平行である
(2)垂直である
A(3,4)、B(0,0)、C(5,0)を頂点とする三角形ABCについて次の三直線の方程式を求めよ。またそれらが1点で交わることを示し座標を求めよ(1)各辺の垂直【数Ⅱ】【図形と方程式｜平面上の点】
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#点と直線#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
A(3,4)、B(0,0)、C(5,0)を頂点とする三角形ABCについて次の三直線の方程式を求めよ。またそれらが1点で交わることを示し、その点の座標を求めよ。
(1) 各辺の垂直二等分線
(2) 各頂点から対辺に下した垂線
この動画を見る
A(3,4)、B(0,0)、C(5,0)を頂点とする三角形ABCについて次の三直線の方程式を求めよ。またそれらが1点で交わることを示し、その点の座標を求めよ。
(1) 各辺の垂直二等分線
(2) 各頂点から対辺に下した垂線
【高校数学】三角不等式の表す領域の図示（平方の処理と単位円による場合分け）｜福田のおもしろ数学582
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#三角関数#軌跡と領域#三角関数とグラフ#数学(高校生)
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$x$ が $0 \leqq x \leqq \pi$、$y$ も $0 \leqq y \leqq \pi$ のとき、
$$\sin^2 x + \cos^2 y \geqq 1$$
を満たすような領域を図示せよ。
この動画を見る
$x$ が $0 \leqq x \leqq \pi$、$y$ も $0 \leqq y \leqq \pi$ のとき、
$$\sin^2 x + \cos^2 y \geqq 1$$
を満たすような領域を図示せよ。
【高校数学】空間座標と平面が切り取る線分の長さの最大値（ベクトルの共線条件）｜上智大学2025TEAP利用型文系第2問
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#図形と方程式#点と直線#平面上のベクトルと内積#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$t$ を実数とし、座標空間の3点
$A\left(\dfrac{t}{3},\ t,\ t\right)$、$B(1,\ t+1,\ t+1)$、$C(t,\ t-1,\ t-2)$
を考える。
(1) 線分 $BC$ が $xy$ 平面と共有点をもつための必要十分条件は
$\boxed{タ}\leqq t\leqq\boxed{チ}$
であり、このときの共有点の座標を $(p,\ q,\ 0)$ とすると
$p=\dfrac{1}{3}(\boxed{ツ}t^{2}+\boxed{テ})$、$q=\dfrac{1}{3}(\boxed{ト}t+\boxed{ナ})$
である。
(2) 3点 $A$、$B$、$C$ を通る平面を $\alpha$ とする。$\alpha$ 上の $\triangle ABC$ と $xy$ 平面が共有点をもつための必要十分条件は
$\boxed{ニ}\leqq t\leqq\boxed{ヌ}$
である。$t$ がこの範囲を動くとき、$\alpha$ 上の $\triangle ABC$ と $xy$ 平面の共通部分の長さの最大値は
$\dfrac{\boxed{ネ}}{\boxed{ノ}}\sqrt{\boxed{ハ}}$
である。
この動画を見る
$t$ を実数とし、座標空間の3点
$A\left(\dfrac{t}{3},\ t,\ t\right)$、$B(1,\ t+1,\ t+1)$、$C(t,\ t-1,\ t-2)$
を考える。
(1) 線分 $BC$ が $xy$ 平面と共有点をもつための必要十分条件は
$\boxed{タ}\leqq t\leqq\boxed{チ}$
であり、このときの共有点の座標を $(p,\ q,\ 0)$ とすると
$p=\dfrac{1}{3}(\boxed{ツ}t^{2}+\boxed{テ})$、$q=\dfrac{1}{3}(\boxed{ト}t+\boxed{ナ})$
である。
(2) 3点 $A$、$B$、$C$ を通る平面を $\alpha$ とする。$\alpha$ 上の $\triangle ABC$ と $xy$ 平面が共有点をもつための必要十分条件は
$\boxed{ニ}\leqq t\leqq\boxed{ヌ}$
である。$t$ がこの範囲を動くとき、$\alpha$ 上の $\triangle ABC$ と $xy$ 平面の共通部分の長さの最大値は
$\dfrac{\boxed{ネ}}{\boxed{ノ}}\sqrt{\boxed{ハ}}$
である。
福田の数学〜上智大学2025TEAP利用型文系第1問〜放物線と円の位置関係と面積
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
座標平面上の放物線$C_1:y=x^2$と
円$C_2:x^2+(y-b)^2=a^2$を考える。
ただし、$a,b$は正の実数とする。
(1)$C_1$と$C_2$が共有点をちょうど$3$つもつための
必要十分条件は
$b=\boxed{ア}a$かつ$a\gt \dfrac{\boxed{イ}}{\boxed{ウ}}$である。
(2)$C_1$と$C_2$が異なる$2$点で接するための
必要十分条件は
$b=\boxed{エ}a^2+\dfrac{\boxed{オ}}{\boxed{カ}}$かつ$a\gt \dfrac{\boxed{キ}}{\boxed{ク}}$である。
(ただし、$C_1$と$C_2$が共有点$P$で接するとは、
$P$における$C_1$の接線と$C_"$の接線が等しいことをいう)
また、このとき$2$つの接点のうち$x$座標が
正のものを$A(\alpha,\beta)$とすると、
$\beta=\boxed{ケ}a^2+\dfrac{\boxed{コ}}{\boxed{サ}}$である。
$A$における共通の接線の傾きが$\sqrt3$であるとき、
直線$y=\beta$の下側で、
$C_1$と$C_2$に囲まれた部分の面積は
$\dfrac{\boxed{シ}}{\boxed{ス}}\sqrt{\boxed{セ}}-\dfrac{\pi}{\boxed{ソ}}$である。
$2025$年上智大学TEAP利用型文系過去問題
この動画を見る
$\boxed{1}$
座標平面上の放物線$C_1:y=x^2$と
円$C_2:x^2+(y-b)^2=a^2$を考える。
ただし、$a,b$は正の実数とする。
(1)$C_1$と$C_2$が共有点をちょうど$3$つもつための
必要十分条件は
$b=\boxed{ア}a$かつ$a\gt \dfrac{\boxed{イ}}{\boxed{ウ}}$である。
(2)$C_1$と$C_2$が異なる$2$点で接するための
必要十分条件は
$b=\boxed{エ}a^2+\dfrac{\boxed{オ}}{\boxed{カ}}$かつ$a\gt \dfrac{\boxed{キ}}{\boxed{ク}}$である。
(ただし、$C_1$と$C_2$が共有点$P$で接するとは、
$P$における$C_1$の接線と$C_"$の接線が等しいことをいう)
また、このとき$2$つの接点のうち$x$座標が
正のものを$A(\alpha,\beta)$とすると、
$\beta=\boxed{ケ}a^2+\dfrac{\boxed{コ}}{\boxed{サ}}$である。
$A$における共通の接線の傾きが$\sqrt3$であるとき、
直線$y=\beta$の下側で、
$C_1$と$C_2$に囲まれた部分の面積は
$\dfrac{\boxed{シ}}{\boxed{ス}}\sqrt{\boxed{セ}}-\dfrac{\pi}{\boxed{ソ}}$である。
$2025$年上智大学TEAP利用型文系過去問題
福田の数学〜青山学院大学2025理工学部第4問〜折れ線の長さの和が4となる点の軌跡と面積
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#青山学院大学
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
$xy$平面上に$2$つの定点$A(-1,0),B(1,0)$がある。
線分$AB$上の点$P$に対して、
$xy$平面上の点$Q$は以下の条件$(a),(b)$を
満たすとする。
$(a)$$P$と$Q$の$x$座標は等しく、
$Q$の$y$座標は正である。
$(b)$$AP+PQ+QB=4$
このとき、以下の問いに答えよ。
ただし、線分は両方の端点を含むものとする。
(1)$P$の座標を$(s,0)$とするとき、
$Q$の座標を$s$を用いて表せ。
(2)$P$が線分$AB$上を$A$から$B$まで動くとき、
$Q$の軌跡を$xy$平面上に図示せよ。
(3)$P$が線分$AB$上を$A$から$B$まで動くとき、
線分$PQ$が通過する範囲の面積を求めよ。
$2025$年青山学院大学理工学部過去問題
この動画を見る
$\boxed{4}$
$xy$平面上に$2$つの定点$A(-1,0),B(1,0)$がある。
線分$AB$上の点$P$に対して、
$xy$平面上の点$Q$は以下の条件$(a),(b)$を
満たすとする。
$(a)$$P$と$Q$の$x$座標は等しく、
$Q$の$y$座標は正である。
$(b)$$AP+PQ+QB=4$
このとき、以下の問いに答えよ。
ただし、線分は両方の端点を含むものとする。
(1)$P$の座標を$(s,0)$とするとき、
$Q$の座標を$s$を用いて表せ。
(2)$P$が線分$AB$上を$A$から$B$まで動くとき、
$Q$の軌跡を$xy$平面上に図示せよ。
(3)$P$が線分$AB$上を$A$から$B$まで動くとき、
線分$PQ$が通過する範囲の面積を求めよ。
$2025$年青山学院大学理工学部過去問題
福田の数学〜早稲田大学2025商学部第2問〜x軸に関する対称移動とy=√3xに関する対称移動の組合せで決まる点列
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
$a,b$を実数とする。
座標平面上の点$P_1,P_2,P_3,\cdots $は
以下の条件を満たしている。
すべての正の奇数$n$に対して、$P_n$と$P_{n+1}$は
$x$軸に関して対称な位置にある。
ただし、$P_n$が$x$軸上にあるときは$P_n=P_{n+1}$で
あるとする。
また、すべての正の偶数$n$に対して、
$P_n$と$P_{n+1}$は直線$y=ax+b$に関して対称な
位置にある。
ただし、$P_n$が直線$y=ax+b$上にあるときは
$P_n=P_{n+1}$であるとする。
(1)$a=0,b=1,P_1(0,0)$であるとき、
$P_{2025}$の座標を求めよ。
(2)$a=1,b=0,P_1(2,1)$であるとき、
$P_{2025}$の座標を求めよ。
(3)$a=\sqrt3,b=0,P_1(1,1)$であるとする。
$m,n$を正の整数とする。
$P_m$と$P_n$の距離の最大値を求めよ。
$2025$年早稲田大学商学部過去問題
この動画を見る
$\boxed{2}$
$a,b$を実数とする。
座標平面上の点$P_1,P_2,P_3,\cdots $は
以下の条件を満たしている。
すべての正の奇数$n$に対して、$P_n$と$P_{n+1}$は
$x$軸に関して対称な位置にある。
ただし、$P_n$が$x$軸上にあるときは$P_n=P_{n+1}$で
あるとする。
また、すべての正の偶数$n$に対して、
$P_n$と$P_{n+1}$は直線$y=ax+b$に関して対称な
位置にある。
ただし、$P_n$が直線$y=ax+b$上にあるときは
$P_n=P_{n+1}$であるとする。
(1)$a=0,b=1,P_1(0,0)$であるとき、
$P_{2025}$の座標を求めよ。
(2)$a=1,b=0,P_1(2,1)$であるとき、
$P_{2025}$の座標を求めよ。
(3)$a=\sqrt3,b=0,P_1(1,1)$であるとする。
$m,n$を正の整数とする。
$P_m$と$P_n$の距離の最大値を求めよ。
$2025$年早稲田大学商学部過去問題
福田の数学〜早稲田大学2025社会科学部第3問〜三角関数の最大最小と三角方程式の解の個数
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#三角関数#円と方程式#三角関数とグラフ#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
$\theta$の関数
$f(\theta)=\cos 2\theta-\sqrt3 \sin 2\theta+4\cos\dfrac{\theta}{2}\left(\sin\dfrac{\theta}{2}-\sqrt3 \cos\dfrac{\theta}{2}\right)+2\sqrt3$
を考える。
ただし、$0\leqq \theta \leqq \pi$とする。次の問いに答えよ。
(1)$k=\sin\theta-\sqrt3 \cos \theta$とおくとき、
$f(\theta)$を$k$の関数で表せ。
(2)$f(\theta)$の最大値、最小値を求めよ。
また、そのときの$\theta$の値を求めよ。
(3) (1)の$k$に対して、$\theta$の方程式
$f(\theta)=ak$の解の個数を求めよ。
ただし、定数$a$は$0\lt a \leqq 3$とする。
$2025$年早稲田大学社会科学部過去問題
この動画を見る
$\boxed{3}$
$\theta$の関数
$f(\theta)=\cos 2\theta-\sqrt3 \sin 2\theta+4\cos\dfrac{\theta}{2}\left(\sin\dfrac{\theta}{2}-\sqrt3 \cos\dfrac{\theta}{2}\right)+2\sqrt3$
を考える。
ただし、$0\leqq \theta \leqq \pi$とする。次の問いに答えよ。
(1)$k=\sin\theta-\sqrt3 \cos \theta$とおくとき、
$f(\theta)$を$k$の関数で表せ。
(2)$f(\theta)$の最大値、最小値を求めよ。
また、そのときの$\theta$の値を求めよ。
(3) (1)の$k$に対して、$\theta$の方程式
$f(\theta)=ak$の解の個数を求めよ。
ただし、定数$a$は$0\lt a \leqq 3$とする。
$2025$年早稲田大学社会科学部過去問題
福田の数学〜早稲田大学2025人間科学部第1問(3)〜球面が平面から切り取る領域の面積
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(3)座標空間における$2$点
$\left(\dfrac{\sqrt{35}}{2},5,10\right),\left(-\dfrac{\sqrt{35}}{2},10,-4\right)$
を直径の両端とする球面$S$がある。
球面$S$が$xy$平面を切り取る領域の面積は
$\boxed{カ}\pi$である。
また、球面$S$が$z$軸を切り取る線分の長さは
$\sqrt{\boxed{キ}}$である。
$2025$年早稲田大学人間科学部過去問題
この動画を見る
$\boxed{1}$
(3)座標空間における$2$点
$\left(\dfrac{\sqrt{35}}{2},5,10\right),\left(-\dfrac{\sqrt{35}}{2},10,-4\right)$
を直径の両端とする球面$S$がある。
球面$S$が$xy$平面を切り取る領域の面積は
$\boxed{カ}\pi$である。
また、球面$S$が$z$軸を切り取る線分の長さは
$\sqrt{\boxed{キ}}$である。
$2025$年早稲田大学人間科学部過去問題
福田のおもしろ数学543〜2つの球面に引いた接線の長さの等しい点の軌跡
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$2$つの球面に引いた接線の長さの
等しい点の軌跡はどんな図形だろう？
この動画を見る
$2$つの球面に引いた接線の長さの
等しい点の軌跡はどんな図形だろう？
福田の数学〜大阪大学2025理系第2問〜3次関数の極値と変曲点の軌跡
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
$p$と$m$を実数とし、
関数$f(x)=x^3+3px^2+3mx$は
$x=\alpha$で極大値をとり、
$x=\beta$で極小値をとるとする。
(1)$f(\alpha)-f(\beta)$を$p$と$m$を用いて表せ。
(2)$p$と$m$が$f(\alpha)-f(\beta)=4$を
満たしながら動くとき、
曲線$y=f(x)$の変曲点の軌跡を求めよ。
$2025$年大阪大学理系過去問題
この動画を見る
$\boxed{2}$
$p$と$m$を実数とし、
関数$f(x)=x^3+3px^2+3mx$は
$x=\alpha$で極大値をとり、
$x=\beta$で極小値をとるとする。
(1)$f(\alpha)-f(\beta)$を$p$と$m$を用いて表せ。
(2)$p$と$m$が$f(\alpha)-f(\beta)=4$を
満たしながら動くとき、
曲線$y=f(x)$の変曲点の軌跡を求めよ。
$2025$年大阪大学理系過去問題
福田のおもしろ数学517〜2つの楕円の共通部分の面積
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$2$つの楕円(内部を含む)
$\dfrac{x^2}{3}+y^2\leqq 1,x^2+\dfrac{y^2}{3} \leqq 1$
の共通部分の面積を求めよ。
この動画を見る
$2$つの楕円(内部を含む)
$\dfrac{x^2}{3}+y^2\leqq 1,x^2+\dfrac{y^2}{3} \leqq 1$
の共通部分の面積を求めよ。
福田の数学〜立教大学2025経済学部第1問(4)〜2直線が1点で交わる条件
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(4)実数$a$は定数とする。
座標平面上の$2$つの直線$(a+1)x+ay=1$
$ax+(a+2)y=2$がただ$1$つの交点を持つための
$a$の条件は$\boxed{カ}$である。
$2025$年立教大学経済学部過去問題
この動画を見る
$\boxed{1}$
(4)実数$a$は定数とする。
座標平面上の$2$つの直線$(a+1)x+ay=1$
$ax+(a+2)y=2$がただ$1$つの交点を持つための
$a$の条件は$\boxed{カ}$である。
$2025$年立教大学経済学部過去問題
福田の数学〜慶應義塾大学2025経済学部第1問(2)〜2変数の不等式と領域
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(2)不等式
$\vert m+n-6 \vert + \vert m-n-2 \vert \leqq 6 \cdots ①$
を満たす整数$m,n$を考える。
$(m+n-6)(m-n-2)\geqq 0$のとき、$m$と$n$が
不等式①を満たすための必要十分条件は
$\boxed{セ} \leqq m \leqq \boxed{ソ}$
である。
同様に、$(m+n-6)(m-n-2)\leqq 0$のとき、
$m$と$n$が①を満たすための必要十分条件は
$\boxed{タチ}\leqq n \leqq \boxed{ツ}$
である。よって、$m$と$n$が①を満たすとき、
$(m-n)(m+n-6)$の最大値は、
$(m-n)(m+n-6)=(m-\boxed{テ})^2-(n-\boxed{ト})^2$
より$\boxed{ナニ}$である。
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
この動画を見る
$\boxed{1}$
(2)不等式
$\vert m+n-6 \vert + \vert m-n-2 \vert \leqq 6 \cdots ①$
を満たす整数$m,n$を考える。
$(m+n-6)(m-n-2)\geqq 0$のとき、$m$と$n$が
不等式①を満たすための必要十分条件は
$\boxed{セ} \leqq m \leqq \boxed{ソ}$
である。
同様に、$(m+n-6)(m-n-2)\leqq 0$のとき、
$m$と$n$が①を満たすための必要十分条件は
$\boxed{タチ}\leqq n \leqq \boxed{ツ}$
である。よって、$m$と$n$が①を満たすとき、
$(m-n)(m+n-6)$の最大値は、
$(m-n)(m+n-6)=(m-\boxed{テ})^2-(n-\boxed{ト})^2$
より$\boxed{ナニ}$である。
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
福田のおもしろ数学503〜複雑な三角方程式が実数解をもつ条件
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\cos^2\pi(a-x)-2\cos \pi(a-x)$
$+\cos\dfrac{3\pi x}{2a}\cos \left(\dfrac{\pi x}{2a}+\dfrac{\pi}{3}\right)+2=0$
が実数解をもつような
自然数$a$の最小値を求めよ。
この動画を見る
$\cos^2\pi(a-x)-2\cos \pi(a-x)$
$+\cos\dfrac{3\pi x}{2a}\cos \left(\dfrac{\pi x}{2a}+\dfrac{\pi}{3}\right)+2=0$
が実数解をもつような
自然数$a$の最小値を求めよ。
福田の数学〜一橋大学2025文系第4問〜ベクトル方程式と領域と角を2等分するベクトル
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#図形と方程式#軌跡と領域#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#一橋大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
原点を$O$とする座標空間内の
$2$点$A(0,3,-5),B(5,-2,10)$に対して
$\overrightarrow{OP}=s\left \{ (1-t)\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB} \right \},x\geqq 0,\dfrac{1}{5} \leqq t \leqq \dfrac{3}{5}$
で定まる点$P$が存在する範囲を$D$とする。
$D$に含まれる半径$10\sqrt2$の円のうち、
その中心と原点との距離が最小となるものを
$C$とする。
円$C$の中心の座標を求めよ。
$2025$年一橋大学文系過去問題
この動画を見る
$\boxed{4}$
原点を$O$とする座標空間内の
$2$点$A(0,3,-5),B(5,-2,10)$に対して
$\overrightarrow{OP}=s\left \{ (1-t)\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB} \right \},x\geqq 0,\dfrac{1}{5} \leqq t \leqq \dfrac{3}{5}$
で定まる点$P$が存在する範囲を$D$とする。
$D$に含まれる半径$10\sqrt2$の円のうち、
その中心と原点との距離が最小となるものを
$C$とする。
円$C$の中心の座標を求めよ。
$2025$年一橋大学文系過去問題
福田の数学〜一橋大学2025文系第2問〜円と円の交点を通る直線に対称な点の軌跡
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#一橋大学#数学(高校生)
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
座標平面上に原点を中心とす半径$3$の円$C_1$がある。
また、直線$x=2$上の点$P$を中心とする半径$1$の円を
$C_2$とする。
(1)$C_1$と$C_2$が共有点を$2$つ持つような$P$の
$y$座標の範囲を求めよ。
(2)$C_1$と$C_2$が共有点を$2$つ持つとき、
その$2$つの共有点を通る直線を$\ell$とする。
$\ell$に関して$P$と対称な位置にある点を$Q$とする。
ただし、$P$が$\ell$上にあるときは$Q=P$とする。
$P$の$y$座標が(1)で求めた範囲を動くとき、
点$Q$の軌跡を求め、図示せよ。
$2025$年一橋大学文系過去問題
この動画を見る
$\boxed{2}$
座標平面上に原点を中心とす半径$3$の円$C_1$がある。
また、直線$x=2$上の点$P$を中心とする半径$1$の円を
$C_2$とする。
(1)$C_1$と$C_2$が共有点を$2$つ持つような$P$の
$y$座標の範囲を求めよ。
(2)$C_1$と$C_2$が共有点を$2$つ持つとき、
その$2$つの共有点を通る直線を$\ell$とする。
$\ell$に関して$P$と対称な位置にある点を$Q$とする。
ただし、$P$が$\ell$上にあるときは$Q=P$とする。
$P$の$y$座標が(1)で求めた範囲を動くとき、
点$Q$の軌跡を求め、図示せよ。
$2025$年一橋大学文系過去問題