図形と方程式
図形と方程式
福田の数学〜慶應義塾大学看護医療学部2025第4問〜放物線と接線の囲む面積と内積の最小値
単元：
#数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形の性質#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#図形と方程式#点と直線#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
$k$を実数の定数とし、
座標平面上に$2$点$A(1,-3),B(-1,k)$をとる。
また、放物線$y=x^2$を$C$とする。
以下に答えなさい。
(1)点$A$から曲線$C$に引いた$2$本の接線のうち、
傾きが正の接線を$\ell_1$とし、
傾きが負の接線を$\ell_2$とするとき、
直線$\ell_1$の方程式は$y=\boxed{テ}$であり、
直線$\ell_2$の方程式は$y=\boxed{ト}$である。
また、$2$直線$\ell_1,\ell_2$のなす角を$\theta$とすると、
$\tan\theta=\boxed{ナ}$である。
ただし、$0\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{2}$とする。
さらに、曲線$C$と$2$直線$\ell_1,\ell_2$で囲まれた
図形の面積は$\boxed{ニ}$である。
(2)点$P$が曲線$C$全体を動くときの
$\overrightarrow{PA}･\overrightarrow{PB}$の最小値を$m$とする。
このとき、$m$を$k$を用いて表すと、
$k\geqq \boxed{ヌ}$のときは$m=\boxed{ネ}$であり、
$k\lt \boxed{ヌ}$のときは、$m=\boxed{ノ}$である。
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
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$\boxed{4}$
$k$を実数の定数とし、
座標平面上に$2$点$A(1,-3),B(-1,k)$をとる。
また、放物線$y=x^2$を$C$とする。
以下に答えなさい。
(1)点$A$から曲線$C$に引いた$2$本の接線のうち、
傾きが正の接線を$\ell_1$とし、
傾きが負の接線を$\ell_2$とするとき、
直線$\ell_1$の方程式は$y=\boxed{テ}$であり、
直線$\ell_2$の方程式は$y=\boxed{ト}$である。
また、$2$直線$\ell_1,\ell_2$のなす角を$\theta$とすると、
$\tan\theta=\boxed{ナ}$である。
ただし、$0\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{2}$とする。
さらに、曲線$C$と$2$直線$\ell_1,\ell_2$で囲まれた
図形の面積は$\boxed{ニ}$である。
(2)点$P$が曲線$C$全体を動くときの
$\overrightarrow{PA}･\overrightarrow{PB}$の最小値を$m$とする。
このとき、$m$を$k$を用いて表すと、
$k\geqq \boxed{ヌ}$のときは$m=\boxed{ネ}$であり、
$k\lt \boxed{ヌ}$のときは、$m=\boxed{ノ}$である。
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
福田の数学〜早稲田大学理工学部2025第2問〜領域に含まれる三角形の面積の最大値
単元：
#数Ⅰ#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#数と式#一次不等式（不等式・絶対値のある方程式・不等式）#図形と方程式#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
$xy$平面上で、
連立不等式
$0\lt x \leqq 1,0\leqq y \leqq \log\dfrac{1}{x}$
で定まる領域と$y$軸の
$y\geqq 0$の部分を合わせた図形を$D$とする。
$D$に含まれる三角形の最大値を求めよ。
$2025$年早稲田大学理工学部過去問題
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$\boxed{2}$
$xy$平面上で、
連立不等式
$0\lt x \leqq 1,0\leqq y \leqq \log\dfrac{1}{x}$
で定まる領域と$y$軸の
$y\geqq 0$の部分を合わせた図形を$D$とする。
$D$に含まれる三角形の最大値を求めよ。
$2025$年早稲田大学理工学部過去問題
福田の数学〜慶應義塾大学理工学部2025第1問(1)〜複素数平面上の点の軌跡
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数平面#図形と方程式#軌跡と領域#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(1)複素数平面上で、方程式
$\vert z+i \vert = 2 \vert z-\sqrt3 \vert$
を満たす点$z$全体が表す図形は、
中心が$\boxed{ア}$,半径が$\boxed{イ}$である。
$2025$年慶應義塾大学理工学部過去問題
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$\boxed{1}$
(1)複素数平面上で、方程式
$\vert z+i \vert = 2 \vert z-\sqrt3 \vert$
を満たす点$z$全体が表す図形は、
中心が$\boxed{ア}$,半径が$\boxed{イ}$である。
$2025$年慶應義塾大学理工学部過去問題
福田の数学〜東北大学2025文系第4問〜2曲線で囲まれた2つの図形の面積が等しくなる条件
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
$k$を正の実数とする。
曲線$y=x(x-2)^2$と
放物線$y=kx^2$で囲まれた$2$つの
部分の面積が等しくなるような
$k$の値を求めよ。
$2025$年東北大学文系過去問題
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$\boxed{4}$
$k$を正の実数とする。
曲線$y=x(x-2)^2$と
放物線$y=kx^2$で囲まれた$2$つの
部分の面積が等しくなるような
$k$の値を求めよ。
$2025$年東北大学文系過去問題
福田の数学〜東北大学2025理系第6問〜2つの正五角形の重なった図形の周の長さの最小値
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\boxed{6}$
$1$辺の長さが$1$の正五角形を$K$とする。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)$K$の対角線の長さを求めよ。
(2)$K$の周で囲まれた図形を$P$とする。
また、$P$を$K$の外接円の中心の周りに
角$\theta$だけ回転して得られる図形を$P_{\theta}$とする。
$P$と$P_{\theta}$の共通部分の周の長さを
$\ell_{\theta}$とする。
$\theta$が$0°\lt 72°$の範囲を動くとき、
$\ell_{\theta}$の最小値が$2\sqrt5$であることを示せ。
$2025$年東北大学理系過去問題
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$\boxed{6}$
$1$辺の長さが$1$の正五角形を$K$とする。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)$K$の対角線の長さを求めよ。
(2)$K$の周で囲まれた図形を$P$とする。
また、$P$を$K$の外接円の中心の周りに
角$\theta$だけ回転して得られる図形を$P_{\theta}$とする。
$P$と$P_{\theta}$の共通部分の周の長さを
$\ell_{\theta}$とする。
$\theta$が$0°\lt 72°$の範囲を動くとき、
$\ell_{\theta}$の最小値が$2\sqrt5$であることを示せ。
$2025$年東北大学理系過去問題
福田の数学〜東北大学2025理系第5問〜球面上の点と軌跡
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\boxed{5}$
$S$を$xyz$空間内の原点$O(0,0,0)$を中心とする
半径$1$の球面とする。
また、点$P(a,b,c)$を
点$(0,0,1)$とは異なる球面$S$上の点とする。
点$P$と点$N$を通る直線$\ell$と$xy$平面との
交点を$Q$とおく。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)点$Q$の座標を$a,b,c$を用いて表せ。
(2)$xy$平面上の点$(p,q,0)$と点$N$を通る直線を
$m$とする。
直線$m$と球面$S$の交点のうち、
点$N$以外の交点の座標を$p,q$を用いて表せ。
(3)点$\left(0,0,\dfrac{1}{2}\right)$を通り、
ベクトル$(3,4,5)$に直交する
平面$\alpha$を考える。
点$P$が平面$\alpha$ト球面$S$との交わりを動くとき、
点$Q$は$xy$平面上の円周上を動くことを示せ。
$2025$年東北大学理系過去問題
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$\boxed{5}$
$S$を$xyz$空間内の原点$O(0,0,0)$を中心とする
半径$1$の球面とする。
また、点$P(a,b,c)$を
点$(0,0,1)$とは異なる球面$S$上の点とする。
点$P$と点$N$を通る直線$\ell$と$xy$平面との
交点を$Q$とおく。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)点$Q$の座標を$a,b,c$を用いて表せ。
(2)$xy$平面上の点$(p,q,0)$と点$N$を通る直線を
$m$とする。
直線$m$と球面$S$の交点のうち、
点$N$以外の交点の座標を$p,q$を用いて表せ。
(3)点$\left(0,0,\dfrac{1}{2}\right)$を通り、
ベクトル$(3,4,5)$に直交する
平面$\alpha$を考える。
点$P$が平面$\alpha$ト球面$S$との交わりを動くとき、
点$Q$は$xy$平面上の円周上を動くことを示せ。
$2025$年東北大学理系過去問題
福田のおもしろ数学450〜2円の共有点の軌跡
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$2$円$C_1 : x^2+y^2=4a^2$
$C_2:(x-3)^2:y^2+a^2 \quad (a\gt 0)$
の共有点の軌跡を求めよ。
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$2$円$C_1 : x^2+y^2=4a^2$
$C_2:(x-3)^2:y^2+a^2 \quad (a\gt 0)$
の共有点の軌跡を求めよ。
福田の数学〜北海道大学2025理系第4問〜複素数平面上の点の軌跡と2円が共有点をもつ条件
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数平面#図形と方程式#軌跡と領域#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#北海道大学#数C
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
$a$を正の実数とする。
(1)$a$が$1$でないとき、複素数$z$についての方程式
$a \vert z-1 \vert = \vert (a-2)z +a \vert$
を考える。
この方程式を満たす$z$全体の集合を
複素数平面上に図示せよ。
$2025$年北海道大学理系過去問題
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$\boxed{4}$
$a$を正の実数とする。
(1)$a$が$1$でないとき、複素数$z$についての方程式
$a \vert z-1 \vert = \vert (a-2)z +a \vert$
を考える。
この方程式を満たす$z$全体の集合を
複素数平面上に図示せよ。
$2025$年北海道大学理系過去問題
福田のおもしろ数学436〜三角方程式の解の総和の極限
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#数学(高校生)
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
正の整数$k$に対して
$x=2k\pi \sin x$
の$x\geqq 0$におけるすべての解の和を$s(k)$とする。
このとき、$\displaystyle \lim_{k\to\infty}\dfrac{s(k)}{k^2}$を求めよ。
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正の整数$k$に対して
$x=2k\pi \sin x$
の$x\geqq 0$におけるすべての解の和を$s(k)$とする。
このとき、$\displaystyle \lim_{k\to\infty}\dfrac{s(k)}{k^2}$を求めよ。
【数Ⅱ】【図形と方程式】2直線の関係4 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次のような三角形の面積を求めよ。
(1)3点(-1,1),(3,2),(1,4)を頂点とする三角形
(2)3直線$x-3y=-5,4x+3y=-5,2x-y=5$で作られる三角形
平面上の2点をA(1,1),B(2,3)とする。
点Pが放物線$y=x^{2}+4x+11$を動くとき、$\triangle$PABの面積の最小値を求めよ。
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次のような三角形の面積を求めよ。
(1)3点(-1,1),(3,2),(1,4)を頂点とする三角形
(2)3直線$x-3y=-5,4x+3y=-5,2x-y=5$で作られる三角形
平面上の2点をA(1,1),B(2,3)とする。
点Pが放物線$y=x^{2}+4x+11$を動くとき、$\triangle$PABの面積の最小値を求めよ。
【数Ⅱ】【図形と方程式】2直線の関係3 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#点と直線#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
問1
直線$y=2x$を$l$とするとき､次のものを求めよ｡
(1)$l$に関して､点$\rm A(5,0)$と対称な点Bの座標
(2) $l$に関して､直線$3x+y=15$と対称な直線の方程式
問２
$k$を定数とする｡直線$(k+2)x+(2k-3)y=5k-4$は$k$の値に関係なく定点を通る｡その定点の座標を求めよ｡
問３
$x-y=1,2x-3y=1,ax+by=1$が1点で交わらなければ､3点$(1,ｰ1),(2,ｰ3),(a,b)$は一直線上にあることを証明せよ｡
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問1
直線$y=2x$を$l$とするとき､次のものを求めよ｡
(1)$l$に関して､点$\rm A(5,0)$と対称な点Bの座標
(2) $l$に関して､直線$3x+y=15$と対称な直線の方程式
問２
$k$を定数とする｡直線$(k+2)x+(2k-3)y=5k-4$は$k$の値に関係なく定点を通る｡その定点の座標を求めよ｡
問３
$x-y=1,2x-3y=1,ax+by=1$が1点で交わらなければ､3点$(1,ｰ1),(2,ｰ3),(a,b)$は一直線上にあることを証明せよ｡
【数Ⅱ】【図形と方程式】2直線の関係2 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#点と直線#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$3x-2y+3=0,2x-4y+k=0,x-ky+5=0$が1点で交わるように､定数$k$の値を求めよ｡
$x+3y=2,x+y=0,ax+2y=-4$が三角形を作らないような定数$a$の値を求めよ｡
2直線$x-y+1=0,3x+2y-12=0$の交点を通り､次の条件を満たす直線の方程式を､それぞれ求めよ｡
(1)直線$5xｰ6yｰ8=0$に平行である｡
(2)直線$5xｰ6yｰ8=0$に垂直である｡
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$3x-2y+3=0,2x-4y+k=0,x-ky+5=0$が1点で交わるように､定数$k$の値を求めよ｡
$x+3y=2,x+y=0,ax+2y=-4$が三角形を作らないような定数$a$の値を求めよ｡
2直線$x-y+1=0,3x+2y-12=0$の交点を通り､次の条件を満たす直線の方程式を､それぞれ求めよ｡
(1)直線$5xｰ6yｰ8=0$に平行である｡
(2)直線$5xｰ6yｰ8=0$に垂直である｡
【数Ⅱ】【図形と方程式】2直線の関係1 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#点と直線#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
三角形$\rm ABC$について次の三直線の方程式を求めよ。またそれらが1点で交わることを示し、その点の座標を求めよ。
(1) 各辺の垂直二等分線
(2) 各頂点から対辺に下した垂線
$x+ay+1=0, ax+(a+2)y+3=0$ が次の条件を満たすとき定数$a$の値をそれぞれ求めよ。
(1) 平行である
(2) 垂直である
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三角形$\rm ABC$について次の三直線の方程式を求めよ。またそれらが1点で交わることを示し、その点の座標を求めよ。
(1) 各辺の垂直二等分線
(2) 各頂点から対辺に下した垂線
$x+ay+1=0, ax+(a+2)y+3=0$ が次の条件を満たすとき定数$a$の値をそれぞれ求めよ。
(1) 平行である
(2) 垂直である
【数Ⅱ】【図形と方程式】内分外分の利用 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#点と直線#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
3 点 $A(2,-2)$、$B(-2,2)$、$C$ を頂点とする三角形が正三角形になるとき、点 $C$ の座標を求めよ。
3 点 $A(3,5)$、$B(2,-2)$、$C(-6,2)$ から等距離にある点の座標を求めよ。
(1) 4 点 $A(-2,3)$、$B(5,4)$、$C(3,-1)$、$D$ を頂点とする平行四辺形 $ABCD$ がある。対角線 $AC$、$BD$ の交点および頂点 $D$ の座標を求めよ。
(2) 4 点 $A(-2,3)$、$B(5,4)$、$C(3,-1)$、$D$ を頂点とする平行四辺形について、頂点 $D$ となりうる点の座標をすべて求めよ。
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3 点 $A(2,-2)$、$B(-2,2)$、$C$ を頂点とする三角形が正三角形になるとき、点 $C$ の座標を求めよ。
3 点 $A(3,5)$、$B(2,-2)$、$C(-6,2)$ から等距離にある点の座標を求めよ。
(1) 4 点 $A(-2,3)$、$B(5,4)$、$C(3,-1)$、$D$ を頂点とする平行四辺形 $ABCD$ がある。対角線 $AC$、$BD$ の交点および頂点 $D$ の座標を求めよ。
(2) 4 点 $A(-2,3)$、$B(5,4)$、$C(3,-1)$、$D$ を頂点とする平行四辺形について、頂点 $D$ となりうる点の座標をすべて求めよ。
【数Ⅱ】【図形と方程式】内分と外分の基本、点と直線 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#点と直線#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
2点$\rm A(-5),B(11)$に対して、線分$\rm AB$を$5:3$に内分する点を$\rm P$、$7:11$に外分する点を$\rm Q$とする。線分$\rm PQ$の中点の座標を求めよ。
次の3点が一直線上にあるとき、$t$の値を求めよ。
(1) $(-2,6),(0,3),(4,t)$
(2) $(1,4),(-1,t),(t,2)$
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2点$\rm A(-5),B(11)$に対して、線分$\rm AB$を$5:3$に内分する点を$\rm P$、$7:11$に外分する点を$\rm Q$とする。線分$\rm PQ$の中点の座標を求めよ。
次の3点が一直線上にあるとき、$t$の値を求めよ。
(1) $(-2,6),(0,3),(4,t)$
(2) $(1,4),(-1,t),(t,2)$
【数Ⅱ】【図形と方程式】内分外分重心 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#点と直線#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
三角形の各辺の中点の座標を$(-1,-1),(-0,-1),(2,-2)$であるとき、この三角形の3つの頂点の座標を求めよ。
$\triangle \rm ABC$の重心を$\rm G$とするとき、次の等式を証明せよ。$\rm AB^2＋AC^2＝BG^2＋CG^2＋４AG^2$
$\triangle \rm ABC$において辺$\rm AB,BC,CA$を$3:2$に内分する点を、それぞれ$\rm D,E,F$とするとき、$\triangle \rm ABC$と$\triangle \rm DEF$の重心は一致することを証明せよ。
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三角形の各辺の中点の座標を$(-1,-1),(-0,-1),(2,-2)$であるとき、この三角形の3つの頂点の座標を求めよ。
$\triangle \rm ABC$の重心を$\rm G$とするとき、次の等式を証明せよ。$\rm AB^2＋AC^2＝BG^2＋CG^2＋４AG^2$
$\triangle \rm ABC$において辺$\rm AB,BC,CA$を$3:2$に内分する点を、それぞれ$\rm D,E,F$とするとき、$\triangle \rm ABC$と$\triangle \rm DEF$の重心は一致することを証明せよ。
福田の数学〜東京大学2025文系第4問〜放物線で囲まれた面積の最大値
単元：
#連立方程式#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
$a$は実数とする。
座標平面において、次の連立不等式の表す領域の
面積を$S(a)$とする。
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
y \leqq -\dfrac{1}{2}x^2+2 \\
y \geqq \vert x^2+a \vert \\\
-1 \leqq x \leqq 1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
$a$が$ 2\leqq a \leqq 2$の範囲を動くとき、
$S(a)$の最大値を求めよ。
$2025$年東京大学文系過去問
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$\boxed{4}$
$a$は実数とする。
座標平面において、次の連立不等式の表す領域の
面積を$S(a)$とする。
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
y \leqq -\dfrac{1}{2}x^2+2 \\
y \geqq \vert x^2+a \vert \\\
-1 \leqq x \leqq 1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
$a$が$ 2\leqq a \leqq 2$の範囲を動くとき、
$S(a)$の最大値を求めよ。
$2025$年東京大学文系過去問
福田の数学〜東京大学2025文系第2問〜三角形の3頂点を中心とする3つの円で3辺を含む条件と三角形を含む条件
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
平面上で$AB=AC=1$である
二等辺三角形$ABC$を考える。
正の実数$r$に対し、$A,B,C$それぞれを中心とする
半径$r$の円$3$つを合わせた領域を$D_r$とする。
ただし、この問いでは、
三角形と円は周とその内部からなるものとする。
辺$AB,AC,BC$がすべて$D_r$に
含まれるような最小の$r$を$s$、
三角形$ABC$が
$D_r$に含まれるような最小の$r$を$t$と表す。
(1)$\angle BAC=\dfrac{\pi}{3}$のとき、$s$と$t$を求めよ。
(2)$\angle BAC=\dfrac{2\pi}{3}$のとき、$s$と$t$を求めよ。
(3)$0\lt \theta \lt \pi$を満たす$\theta$に対して、
$\angle BAC=\theta$のとき、$s$と$t$を$\theta$を用いて表せ。
$2025$年東京大学文系過去問題
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$\boxed{2}$
平面上で$AB=AC=1$である
二等辺三角形$ABC$を考える。
正の実数$r$に対し、$A,B,C$それぞれを中心とする
半径$r$の円$3$つを合わせた領域を$D_r$とする。
ただし、この問いでは、
三角形と円は周とその内部からなるものとする。
辺$AB,AC,BC$がすべて$D_r$に
含まれるような最小の$r$を$s$、
三角形$ABC$が
$D_r$に含まれるような最小の$r$を$t$と表す。
(1)$\angle BAC=\dfrac{\pi}{3}$のとき、$s$と$t$を求めよ。
(2)$\angle BAC=\dfrac{2\pi}{3}$のとき、$s$と$t$を求めよ。
(3)$0\lt \theta \lt \pi$を満たす$\theta$に対して、
$\angle BAC=\theta$のとき、$s$と$t$を$\theta$を用いて表せ。
$2025$年東京大学文系過去問題
福田の数学〜東京大学2025理系第6問〜複素数平面上の点の軌跡と実部の最大最小
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数平面#図形と方程式#軌跡と領域#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\boxed{6}$
複素数平面上の点$\dfrac{1}{2}$を中心とする
半径$\dfrac{1}{2}$の円の周から原点を除いた曲線を
$C$とする。
(1)曲線$C$上の複素数$z$に対し、$\dfrac{1}{z}$の実部は
$1$であることを示せ。
(2)$\alpha,\beta$を曲線$C$上の相異なる複素数とするとき、
$\dfrac{1}{alpha^2}+\dfrac{1}{\beta^2}$がとりうる範囲を
複素数平面上に図示せよ。
(3)$\nu $を(2)で求めた範囲に属さない複素数とするとき、
$\dfrac{1}{\gamma}$の実部がとりうる値の
最大値と最小値を求めよ。
$2025$年東京大学理系過去問題
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$\boxed{6}$
複素数平面上の点$\dfrac{1}{2}$を中心とする
半径$\dfrac{1}{2}$の円の周から原点を除いた曲線を
$C$とする。
(1)曲線$C$上の複素数$z$に対し、$\dfrac{1}{z}$の実部は
$1$であることを示せ。
(2)$\alpha,\beta$を曲線$C$上の相異なる複素数とするとき、
$\dfrac{1}{alpha^2}+\dfrac{1}{\beta^2}$がとりうる範囲を
複素数平面上に図示せよ。
(3)$\nu $を(2)で求めた範囲に属さない複素数とするとき、
$\dfrac{1}{\gamma}$の実部がとりうる値の
最大値と最小値を求めよ。
$2025$年東京大学理系過去問題
福田の数学〜東京大学2025理系第3問〜平行四辺形を囲む長方形の面積の最大値
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\boxed {3} $
平面四辺形$ABCD$において、
$\angle ABC = \dfrac {\pi} {6} , AB = a , BC = b , a \leqq b$とする。
次の条件を満たす長方形$EFGH$を考え、
その面積を$S$とする。
条件:点$A,B,C,D$はそれぞれ
$\quad$辺$EF,FG,GH,HE$上にある。
$\quad$ただし、辺はその両端の点も含むものとする。
(1)$\angle BCG=\theta$とするとき、
$S$を$a,b,\theta$を用いて表せ。
(2)$S$とりうる値の最大値を$a,b$を用いて表せ。
$2025$年東京大学理系過去問題
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$\boxed {3} $
平面四辺形$ABCD$において、
$\angle ABC = \dfrac {\pi} {6} , AB = a , BC = b , a \leqq b$とする。
次の条件を満たす長方形$EFGH$を考え、
その面積を$S$とする。
条件:点$A,B,C,D$はそれぞれ
$\quad$辺$EF,FG,GH,HE$上にある。
$\quad$ただし、辺はその両端の点も含むものとする。
(1)$\angle BCG=\theta$とするとき、
$S$を$a,b,\theta$を用いて表せ。
(2)$S$とりうる値の最大値を$a,b$を用いて表せ。
$2025$年東京大学理系過去問題
福田のおもしろ数学405〜√2+√3が円周率πよりも大きいことの証明
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\sqrt2 + \sqrt3 \gt \pi$
を証明して下さい。
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$\sqrt2 + \sqrt3 \gt \pi$
を証明して下さい。
function : Shirotan's cute kawaii math show #Math #exam #questions #brainteasers #study #test
単元：
#数Ⅱ#軌跡と領域#数学(高校生)
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高校入試から見た数学の世界「全部入試問題」by しろたん
問題文全文(内容文)：
2点$A(1,7),B(6,-2)$
$y=ax+2とABが共有する点を持つようaの値の範囲を求めよ$
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2点$A(1,7),B(6,-2)$
$y=ax+2とABが共有する点を持つようaの値の範囲を求めよ$
軌跡の難問！軌跡は苦手意識を持った人も多いので差がつきます【東京大学】【数学 入試問題】
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)
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数学・算数の楽しさを思い出した / Ken
問題文全文(内容文)：
長さlの線分が、その両端を放物線y=x^2にのせて動く。この線分の中点Mがx軸に最も近い場合のMの座標を求めよ。ただし、l≧1とする。
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長さlの線分が、その両端を放物線y=x^2にのせて動く。この線分の中点Mがx軸に最も近い場合のMの座標を求めよ。ただし、l≧1とする。
福田の数学〜早稲田大学2024社会科学部第1問〜領域における最大最小
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$$連立不等式
y≦-\frac{2}{3}x+4, y≧x-1,x≧0,y≧0
の表す領域をDとする。点(x,y)が領域Dを動くとき、次の問いに答えよ。
$$(1)領域Dを座標平面上に図示せよ。$$
$$(2)-2x+yの最大値と、そのときのx,yの値を求めよ。$$
$$(3)2x+yの最大値と、そのときのx,yの値を求めよ。$$
$$(4)aがすべての実数を動くとき、ax+yの最大値をaで分類せよ。$$
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$$連立不等式
y≦-\frac{2}{3}x+4, y≧x-1,x≧0,y≧0
の表す領域をDとする。点(x,y)が領域Dを動くとき、次の問いに答えよ。
$$(1)領域Dを座標平面上に図示せよ。$$
$$(2)-2x+yの最大値と、そのときのx,yの値を求めよ。$$
$$(3)2x+yの最大値と、そのときのx,yの値を求めよ。$$
$$(4)aがすべての実数を動くとき、ax+yの最大値をaで分類せよ。$$
福田の数学〜早稲田大学2024教育学部第1問(4)〜領域と奇跡
単元：
#数Ⅰ#数Ⅱ#２次関数#図形と方程式#数学(高校生)
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$
\begin{eqnarray}
\fcolorbox{#000}{ #fff }{$1$} \ (4) \\
\end{eqnarray}
$
$xy$平面上に3点$O(0,0),A(1,0),B(1,1)$をとる。点$(x,y)$が三角形$OAB$の周および内部を動くときに点$(x+y,xy)$が動く範囲の面積を求めよ。
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$
\begin{eqnarray}
\fcolorbox{#000}{ #fff }{$1$} \ (4) \\
\end{eqnarray}
$
$xy$平面上に3点$O(0,0),A(1,0),B(1,1)$をとる。点$(x,y)$が三角形$OAB$の周および内部を動くときに点$(x+y,xy)$が動く範囲の面積を求めよ。
福田の数学〜慶應義塾大学2024総合政策学部第5問〜線形計画法
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
領域 $D$ $ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x^2 + y^2 \leq 4 \\
(\sqrt{2}x^2 - 2y) (x-2y+2) \leq 0
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} $
を点 $(x,y)$ が動くとき $x-2y$ の最大値、最小値を求めよ。
$ax+y$ が $(\frac{6}{5}, \frac{8}{5})$ で最大となる $a$ の範囲は？
そのときの $ax+y$ のとりうる範囲は？
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領域 $D$ $ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x^2 + y^2 \leq 4 \\
(\sqrt{2}x^2 - 2y) (x-2y+2) \leq 0
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} $
を点 $(x,y)$ が動くとき $x-2y$ の最大値、最小値を求めよ。
$ax+y$ が $(\frac{6}{5}, \frac{8}{5})$ で最大となる $a$ の範囲は？
そのときの $ax+y$ のとりうる範囲は？
福田の数学〜上智大学2024TEAP利用型文系第3問(4)〜線分の通過範囲の面積
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#微分法と積分法#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#面積、体積#上智大学#数学(高校生)
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}(4)$座標平面上で放物線$y=x^2$上の点P$(t,t^2)(0 \leqq t \leqq 1)$における接線$y=-(x+1)^2$の二つの共有点の中点をQとする。ただし、共有点が1つの場合は、その共有点をQとする。Qの座標は$(\boxed{ユ}t+\boxed{ヨ}
,\boxed{ラ}t^2+\boxed{リ}t+\boxed{ル})$である。
tが$0 \leqq t \leqq1$の範囲を動くとき線分PQが動いてできる図形の面積は$\frac{\boxed{レ}}{\boxed{ロ}}$である
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$\boxed{2}(4)$座標平面上で放物線$y=x^2$上の点P$(t,t^2)(0 \leqq t \leqq 1)$における接線$y=-(x+1)^2$の二つの共有点の中点をQとする。ただし、共有点が1つの場合は、その共有点をQとする。Qの座標は$(\boxed{ユ}t+\boxed{ヨ}
,\boxed{ラ}t^2+\boxed{リ}t+\boxed{ル})$である。
tが$0 \leqq t \leqq1$の範囲を動くとき線分PQが動いてできる図形の面積は$\frac{\boxed{レ}}{\boxed{ロ}}$である
福田の数学〜上智大学2024TEAP利用型文系第3問(1)〜対数指数不等式と領域に含まれる格子点の個数
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#指数関数と対数関数#指数関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}(1)$整数の組$(x,y)$で条件\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\log_{ \frac{π}{4} } y \lt log_{\frac{1}{2}}(x-1) \\
2^{y-1} \lt 8^x
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
を満たすものは全部で$\boxed{ヒ}$個ある。
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$\boxed{3}(1)$整数の組$(x,y)$で条件\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\log_{ \frac{π}{4} } y \lt log_{\frac{1}{2}}(x-1) \\
2^{y-1} \lt 8^x
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
を満たすものは全部で$\boxed{ヒ}$個ある。
福田の数学〜青山学院大学2024理工学部第3問〜2次方程式の解の条件と領域
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#青山学院大学
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$p,qを実数の定数とし、xについての2次方程式$
$x^2+px+q=0 \cdots (\ast)$
を考える。2次方程式$(\ast)$が異なる2つの実数解$\alpha,\beta(\alpha\lt\beta)$をもち、かつ$\alpha,\beta$が
$\displaystyle \frac{\alpha}{2}\leqq\beta\leqq2\alpha$
を満たすとき、以下の問いに答えよ。
(1)点$(p,q)$のとりうる範囲を座標平面上に図示せよ。
(2)$\alpha,\beta$がさらに
$(\alpha+1)(\beta+1)\leqq 3$
を満たすとする。このとき、pの値が最小となるような$(p,q)$を求めよ。
(3)(2)で求めた$(p,q)$に対して、2次方程式$(\ast)$の解$\alpha,\beta$を求めよ。
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$p,qを実数の定数とし、xについての2次方程式$
$x^2+px+q=0 \cdots (\ast)$
を考える。2次方程式$(\ast)$が異なる2つの実数解$\alpha,\beta(\alpha\lt\beta)$をもち、かつ$\alpha,\beta$が
$\displaystyle \frac{\alpha}{2}\leqq\beta\leqq2\alpha$
を満たすとき、以下の問いに答えよ。
(1)点$(p,q)$のとりうる範囲を座標平面上に図示せよ。
(2)$\alpha,\beta$がさらに
$(\alpha+1)(\beta+1)\leqq 3$
を満たすとする。このとき、pの値が最小となるような$(p,q)$を求めよ。
(3)(2)で求めた$(p,q)$に対して、2次方程式$(\ast)$の解$\alpha,\beta$を求めよ。
福田の数学〜明治大学2024理工学部第3問〜放物線と折れ線の位置関係
単元：
#数Ⅰ#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#２次関数#2次関数とグラフ#図形と方程式#点と直線#学校別大学入試過去問解説(数学)#明治大学#数学(高校生)
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$座標平面上も曲線$y=x^2$を$C$、直線$y=\frac{3}{4}x-\frac{1}{4}$を$l$とする。$s$を実数とし、直線$x=s$を$m$とする。曲線$C$上の点$P(t,t^2)$に対し、$P$から直線$l$との交点$Q$とする。また、$P$から直線$m$に下ろした垂線と$m$との交点を$R$とする。
$(1)$点$P$と点$Q$の距離$PQ$を$l$の式で表すと、$PQ=\boxed{け}$である。
$(2)$点$P$と点$R$の距離$PR$を$s$と$l$の式で表すと、$PR=\boxed{こ}$である。
$(3)PQ$は$t=\boxed{さ}$のとき、最小値$\boxed{し}$をとる。
$(4)s=\frac{2}{5}$のとき、$PQ=PR$となる点$P$をすべて求め、その$x$座標を小さい順に並べると$\boxed{す}$となる。
$(5)$実数$s$を固定したとき、$PQ=PR$となるような点$P$の個数を$N_s$とする。$N_s=4$となる$s$の範囲は$\boxed{せ}$
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$\boxed{3}$座標平面上も曲線$y=x^2$を$C$、直線$y=\frac{3}{4}x-\frac{1}{4}$を$l$とする。$s$を実数とし、直線$x=s$を$m$とする。曲線$C$上の点$P(t,t^2)$に対し、$P$から直線$l$との交点$Q$とする。また、$P$から直線$m$に下ろした垂線と$m$との交点を$R$とする。
$(1)$点$P$と点$Q$の距離$PQ$を$l$の式で表すと、$PQ=\boxed{け}$である。
$(2)$点$P$と点$R$の距離$PR$を$s$と$l$の式で表すと、$PR=\boxed{こ}$である。
$(3)PQ$は$t=\boxed{さ}$のとき、最小値$\boxed{し}$をとる。
$(4)s=\frac{2}{5}$のとき、$PQ=PR$となる点$P$をすべて求め、その$x$座標を小さい順に並べると$\boxed{す}$となる。
$(5)$実数$s$を固定したとき、$PQ=PR$となるような点$P$の個数を$N_s$とする。$N_s=4$となる$s$の範囲は$\boxed{せ}$