問題文全文(内容文)：
①ベクトル$\overrightarrow{ a }=(x-1)、\overrightarrow{ b }=(2,-3)$に対して、$\overrightarrow{ a }+3\overrightarrow{ b }$と$\overrightarrow{ b }-\overrightarrow{ a }$が平行になるように 実数xの値を定めよう。

②$\overrightarrow{ a }=(2,1),\overrightarrow{ b }=(-4,3)$がある。実数tを変化させるとき、$\overrightarrow{ c }=\overrightarrow{ a }+t\overrightarrow{ b }$の大きさの最小値と、そのときのtの値を求めよう。

問題文全文(内容文)：
点 O を原点とする座標空間に 3 点 A(-1,0,-2), B(-2,-2, -3 ), C(1, 2,- 2 )がある。
(a)ベクトル$\overrightarrow{ AB }と\overrightarrow{ AC }の内積は\overrightarrow{ AB }・\overrightarrow{ AC }=\fbox{ アイ }$であり、$\angle ABCの外接円の半径は\sqrt{\fbox{ウエ}}$である。$\angle ABC$の外接円の中心を点 P とすると、
$\overrightarrow{ AP }=\fbox{オ}\overrightarrow{ AB }+\frac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}}\overrightarrow{ AC }$
が成り立つ。
(b)$\angle ABC$の重心を点 G とすると、$\overrightarrow{ OG }=\frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}}(\overrightarrow{ OA }
+\overrightarrow{ OB }+\overrightarrow{ OC })$であり、線分OBを 2 : 1 に内分する点を Q とすると、$\overrightarrow{ AQ }=(\frac{\fbox{コサ}}{\fbox{シ}},\frac{\fbox{スセ}}{\fbox{ソ}},\fbox{タ})$となる。
(c)線分 OC を 2 : I に内分する点を R とし、 3 点 A, Q, R を通る平面を$\alpha$と直線OG との交点を S とする。点 S は平面にあることから、
$\overrightarrow{ OS }=t\overrightarrow{ OA }+u\overrightarrow{ OB }+v\overrightarrow{ OC }$
(ただし、$t,u,vはt+\frac{\fbox{チ}}{\fbox{ツ}}u+\frac{\fbox{テ}}{\fbox{ト}}v=1$を満たす実数)
と書けるので、$\overrightarrow{ OS }=\frac{\fbox{ナ}}{\fbox{ニ}}\overrightarrow{ OG }$となることがわかる。
平面$\alpha$上において、点Sは三角形AQRの$\fbox{ヌ}$に存在し、四面体 O-AQR の体積は四面体のO-ABCの体積の$frac{\fbox{ネ}}{\fbox{ノ}}$倍である。

2023杏林大学過去問

問題文全文(内容文)：
△ABC（それぞれの位置ベクトルをa、b、cとする）について、以下の問いに答えよ。
(２)頂点Aと辺BCの中点を通る直線のベクトル方程式を求めよ

問題文全文(内容文)：
点の存在範囲を考える問題

問題文全文(内容文)：

$\boxed{5}$

座標平面の原点$O$を中心とする半径$1$の

球面を$C$、点$M(4,0,0)$を中心とする

半径$2$の球面上を$D$とする。

(1)$p,q$を実数とする。

$xy$平面上の直線$y=px+q$は、

球面$C$と$xy$平面が交わってできる円と

点$A_1$で接し、球面$D$と$xy$平面が交わって

できる円と点$A_2$で接し、かつ

$0 \lt p 1$を満たすとする。$p$と$q$の値を求めよ。

(2)$r,s$を実数とする。

$zx$平面上の直線$z=rx+s$は、球面$C$と

$zx$平面が交わってできる円と点$B_1$で接し、

球面$D$と$zx$平面が交わってできる円と点$B_2$で

接し、かつ、$r \lt -1$を満たすとする。

$r$と$s$の値を求めよ。

以下、点$E$は$\overrightarrow{ A_1 E }=(0,0,1)$を満たすとし、

$3$点$A_1,A_2,E$を通る平面を$\alpha$とする。

また、点$F$は$\overrightarrow{ B_1 E }=(0,1,0)$を満たすとし、

$3$点$B_1,B_2,F$を通る平面を$\beta$とする。

$\alpha$と$\beta$が交わってできる直線を

$\ell$とし、$\ell$と$xy$平面の交点を

$G,\ell$と$zx$平面の交点を$H$とする。

(3)$G$の座標を求めよ。

(4)$\ell$上の点$T$を、実数$t$を用いて

$\overrightarrow{OT}=\overrightarrow{OG}+t\overrightarrow{OH}$と表す。

$\triangle OMT$の面積が最小となる$t$の値の求めよ。

$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題