問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \displaystyle \frac{1}{n}\displaystyle \int_{-n}^{n} (\displaystyle \frac{e^x}{e^x+e^{-x}})^2 dx$

出典：2013年電気通信大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{III}$　三角関数の極限(5)
$\lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\tan x°}{x}$　を求めよ。

問題文全文(内容文)：
数列$\{ a_n \}, \{ b_n \}, \{ c_n \}$について、次の事柄は正しいか。
正しいものは証明し、正しくないものは、その反例をあげよ。
ただし、$\alpha$は定数とする。
(1) $\displaystyle \lim_{ n \to \infty} a_n = \infty, \lim_{n \to \infty} b_n = \infty$ ならば $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}(a_n-b_n)=0$
(2) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty} a_n = \infty, \lim_{n \to \infty} b_n = 0$ ならば $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}a_nb_n=0$
(3) $ \displaystyle b_n \lt a_n \lt c_n , \lim_{n \to \infty}(c_n-b_n)=0$ ならば $ \{ a_n \}$は収束する。
(4) $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}(a_n-b_n)=0, \lim_{n \to \infty}a_n =\alpha$ ならば $\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n= \alpha$

問題文全文(内容文)：

$\boxed{5}$

$xy$平面上の曲線$C:y=\sqrt[3]{x^2+2}$と考え、

$C$上の$(0,\sqrt[3]{2})$以外の点$P(a,b)$における接線を

$\ell : y = kx +c$と表す。$C$と$\ell$の方程式から

$x$を消去して得られる$y$についての$3$次方程式

$f(y)=0$は$b$を重解としてもつので、もう$1$つの解を

$b'$とする。

ただし、$b'$が$3$重解のときは$b'=b$とみなす。

次の問いに答えよ。

(1)$2b+b'$を$k$のみの分数式で表せ。

(2)$b'$を$b$のみの分数式で表せ。

(3)$C$と$\ell$の共有点で、その$y$座標が$b'$であるものを

$P'(a',b')$とする。

$a$と$b$が有理数ならば、$a'$と$b'$も有理数であることを

示せ。

(4)$b$が奇数$p,q$と負でない整数$r$を用いて

$b=\dfrac{p}{2^r q}$で与えられるとする。

有理数$b'$を奇数$p',q'$と整数$s$を用いて$b'=\dfrac{p'}{2^s q'}$と

表すとき、$s$を$r$の式で表せ。

(5)$P(5,3)$が曲線$C$上の点であることを利用して、

$C$上に$x$座標と$y$座標がともに有理数であるような点が

無数に存在することを示せ。

$2025$年早稲田大学理工学部過去問題

問題文全文(内容文)：
正の整数nに対して、
$S_n=\sum_{k=1}^n(\sqrt{1+\frac{k}{n^2}}-1)$
とする。
(1)正の実数xに対して、次の不等式が成り立つことを示せ。
$\frac{x}{2+x} \leqq \sqrt{1+x}-1 \leqq \frac{x}{2}$

(2)極限値$\lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ。

2022東北大学理系過去問