問題文全文(内容文)：
3 空間内に平行四辺形 $\text{ABCD}$ を底面とする四角錐 $\text{O}-\text{ABCD}$ があり，平行四辺形 $\text{ABCD}$ は $\text{AC} = \sqrt{61}, \text{BD} = \sqrt{21}$ を満たしている。また，線分 $\text{AC}$ と線分 $\text{BD}$ の交点を $\text{H}$ とすると，直線 $\text{OH}$ は平面 $\text{ABC}$ に垂直で
$\overrightarrow{\text{OA}} \cdot \overrightarrow{\text{OC}} = -\frac{1}{2}, \quad \overrightarrow{\text{OB}} \cdot \overrightarrow{\text{OD}} = \frac{19}{2}, \quad \overrightarrow{\text{OA}} \cdot \overrightarrow{\text{OB}} = \frac{25}{2}$
が成り立っている。このとき
$\text{OA} = \sqrt{\text{[アイ]}}, \quad \text{OB} = \text{[ウ]} \sqrt{\text{[エ]}}, \quad \overrightarrow{\text{OB}} \cdot \overrightarrow{\text{OC}} = \text{[オカ]}$
である。
(1) $\text{AB} = \text{[キ]}, \quad \text{BC} = \text{[ク]}$ である。
また，平行四辺形 $\text{ABCD}$ の面積を $S$ とすると，$S = \text{[ケコ]} \sqrt{\text{[サ]}}$ である。
(2) 線分 $\text{OA}$ の中点を $\text{P}$，線分 $\text{OB}$ を $3 : 1$ に内分する点を $\text{Q}$，線分 $\text{OD}$ を $1 : 3$ に内分する点を $\text{R}$ とし，平面 $\text{PQR}$ と直線 $\text{OC}$ の交点を $\text{T}$ とする。$\overrightarrow{\text{OT}}$ を $\overrightarrow{\text{OC}}$ を用いて表すと $\overrightarrow{\text{OT}} = \frac{\text{[シ]}}{\text{[スセ]}} \overrightarrow{\text{OC}}$ である。線分 $\text{PT}$ と線分 $\text{QR}$ の交点を $\text{U}$ とするとき，$\overrightarrow{\text{OU}}$ を $\overrightarrow{\text{OA}}, \overrightarrow{\text{OC}}$ を用いて表すと
$\overrightarrow{\text{OU}} = \frac{\text{[ソ]}}{\text{[タチ]}} (\overrightarrow{\text{OA}} + \overrightarrow{\text{OC}})$
である。
また，$\overrightarrow{\text{UO}} \cdot \overrightarrow{\text{UD}} = w_1, \quad \overrightarrow{\text{OH}} \cdot \overrightarrow{\text{OA}} = w_2$ とするとき
$\frac{w_1}{w_2} = \frac{\text{[ツテト]}}{\text{[ナニ]}}$
である。

問題文全文(内容文)：
xyz空間における 8 点 O ( 0 , 0 , 0 ), A ( 1 , 0 , 0 ), B ( 1 , 1 , 0 ), C( 0 , 1 , 0 ), D ( 0 , 0 , 1 ),E ( 1 , 0 , 1 ), F( 1 , 1 , 1 ), G(0 , 1 , 1 ) を頂点とする立方体 OABC-DEFG を考える。また、pと q はp> 1 ,q> 1 を満たす実数とし、 3 点 P, Q, R を P( p, 0 , 0 ), Q(0 , q , 0 ),R( 0 , 0 , $\dfrac{3}{2}$ )とする。
(1)a,bを実数とし、べクトル$\vec{n}$=( a , b , 1 )は 2 つのべクトル $\overrightarrow{ PQ },\overrightarrow{ PR }$の両方に垂直であるとする。a,bをp,qを用いて表せ。
以下では 3 点 P, Q, R を通る平面を$\alpha$とし、点 F を通り平面を$\alpha$とし、点Fを通り平面$\alpha$に垂直な直線をlとする。また、xy平面と直線lの交点のx座標が$\dfrac{2}{3}$であるとし、点 B は線分 PQ 上にあるとする。
(2)pおよびqの値を求めよ。
( 3 )平面と線分 EF の交点 M の座標、および平面と直線 FG の交点 N の座標を求めよ。
( 4 )平面で立方体 OABC - DEFG を 2 つの多面体に切り分けたとき、点 F を含む多面体の体積Vを求めよ。

2023慶應義塾大学商学部過去問

問題文全文(内容文)：
6⃣
▢ABCDが正方形の四角錐O-ABCDがある。
OAを1:1に内分する点をP
OBを2:1に内分する点をQ
OCを3:1に内分する点をR
3点P,Q,Rを通る平面とODの交点をSとする。
$\vec{ OS }$を$\vec{ OA }$,$\vec{ OB }$,$\vec{ OC }$で表せ

問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{2}}$ xyz空間において、点O(0, 0, 0)と点A(0, 0, 1)を結ぶ線分OAを直径にもつ球面を$\sigma$とする。このとき以下の各問に答えよ。
(1) 球面$\sigma$の方程式を求めよ。
(2) xy平面上にあってOと異なる点Pに対して、線分APと球面$\sigma$との交点をQとするとき、$\overrightarrow{ OQ } \bot \overrightarrow{ AP }$を示せ。
(3) 点S(p, q, r)を$\overrightarrow{OS}・\overrightarrow{ AS }=-|\overrightarrow{ OS }|^2$を満たす、xy平面上にない定点とする。$\sigma$上の点Qが$\overrightarrow{ OS } \bot \overrightarrow{ SQ }$を満たしながら動くとき、直線AQとxy平面上の交点Pはどのような図形を描くか。p, q, rを用いて答えよ。

2017東京医科歯科大学医学部過去問

問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$(4)2つのベクトル$\overrightarrow{ a }=(4,\ -2,\ 3),\ \overrightarrow{ b }=(-4,\ 5,\ -3)$の両方に垂直な
単位ベクトルを全て求めよ。

2021中央大経済学部過去問