問題文全文(内容文)：
$3$つの複素数 $z_1, z_2, z_3$に関する条件$P$を次のように定める。
P: 「$z_1, z_2, z_3$はどれも0ではなく、互いに異なり、かつ$ \{{z_1}^n | n は整数\} = \{{z_2}^n | nは整数\} = \{{z_3}^n |n は整数\}$
である。」
次の問いに答えよ。
(1) $3$つの複素数 $z_1,z_2,z_3$が条件$P$を満たしているとする。このとき$ |z_1| = 1$ であることを示せ。また集合$ \{{z_1}^n | n は整数\}$の要素の個数は有限であることを示せ。
(2) 条件$P$を満たす3つの複素数 $z_1,z_2,z_3$のうち、集合$ \{{z_1}^n | n は整数\}$の要素の個数が最小となるものを考える。このとき集合$ \{{z_1}^n | n は整数\}$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{1}}$ (1)次の6つの複素数が1つずつ書かれた6枚のカードがある。
$\frac{1}{2}$, 1, 2, $\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}$, $\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}$, $\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}$
これらから無作為に3枚選び、カードに書かれた3つの複素数を掛けた値に対応する複素数平面上の点をPとする。
(i)点Pが虚軸上にある確率は$\displaystyle\frac{\boxed{\ \ ア\ \ }}{\boxed{\ \ イ\ \ }}$である。
(ii)点Pの原点からの距離が1である確率は$\displaystyle\frac{\boxed{\ \ ウ\ \ }}{\boxed{\ \ エ\ \ }}$である。

問題文全文(内容文)：
$\boxed{6}$

複素数平面上の点$\dfrac{1}{2}$を中心とする

半径$\dfrac{1}{2}$の円の周から原点を除いた曲線を

$C$とする。

(1)曲線$C$上の複素数$z$に対し、$\dfrac{1}{z}$の実部は

$1$であることを示せ。

(2)$\alpha,\beta$を曲線$C$上の相異なる複素数とするとき、

$\dfrac{1}{alpha^2}+\dfrac{1}{\beta^2}$がとりうる範囲を

複素数平面上に図示せよ。

(3)$\nu $を(2)で求めた範囲に属さない複素数とするとき、

$\dfrac{1}{\gamma}$の実部がとりうる値の

最大値と最小値を求めよ。

$2025$年東京大学理系過去問題

問題文全文(内容文)：
$z=\cos\dfrac{2}{5}\pi+i\sin\dfrac{2}{5}\pi$のとき、$z^4+z^3+z^2+z+1$の値を求めよ

問題文全文(内容文)：
$ (\sqrt{2+\sqrt2}+\sqrt{2-\sqrt2i})^8$
これを解け.

2022東海大(医)過去問