問題文全文(内容文)：
$x,y$についての方程式
$x^2-6xy+y^2=9 　\ldots\ldots(*)$
に関する次の問いに答えよ。
(1)$x,y$がともに正の整数であるような(*)の解のうち、yが最小であるものを
求めよ。
(2)数列$a_1,a_2,a_3,\ldots$が漸化式
$a_{n+2}-6a_{n+1}+a_n=0　　(n=1,2,3,\ldots)$
を満たすとする。このとき、$(x,y)=(a_{n+1},a_n)$が(*)を満たすならば、
$(x,y)=(a_{n+2},a_{n+1})$も(*)を満たすことを示せ。
(3)(*)の整数解(x,y)は無数に存在することを示せ。

2022千葉大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
$a=3+\sqrt{10},b=3-\sqrt{10}$とし、正の整数nに対して$A_n=a^n+b^n$とおく。
このとき、$A_{2} ,A_{3}$の値はそれぞれ$A_{2}=\fbox{ク},A_{3}=\fbox{ケ}$であり、
$A_{n+2}$を$A_{n+1},A_{n}$を用いて表すと$A_{n+2}=\boxed{コ}$である。
また、$a^{111}$の整数部分を$k$とするとき、kを10で割ると$\boxed{サ}$余る。

2023北里大学医過去問

問題文全文(内容文)：
整数からなる数列$\{a_n\}~(n=1,2,3,\cdots)$を次の規則1、規則2により定める。
（規則1）$a_1=0,a_2=1$である。
（規則2）$k=1,2,3,\cdots$について、初項から第$2^k$項までの値のそれぞれに$1$を加え、それらすべてを逆の順序にしたものが第$(2^k+1)$項から第$2^{k+1}$項までの値と定める。
例えば、初項と第2項までのそれぞれに$1$を加えて順序を逆にすると$2,1$を得る。これより、初項から第4項までは$0,1,2,1$となる。同様に、これらのそれぞれに$1$を加えて順序を逆にすると$2,3,2,1$となる。これより、初項から第8項までは$0,1,2,1,2,3,2,1$となる。
(1) 以上の規則により得られる数列$\{a_n\}$において、$a_{10}=\boxed{ア}$であり、$a_{16}=\boxed{イ}$である。また第$2^k$項$(k=5,6,7,\cdots)$の値は$\boxed{ウ}$である。

(2) $a_{518}$を求めたい。上記の規則2によれば、$1 \leqq i \leqq 2^k$を満たす$i$に対して$a_1$に$1$を加えた数と第$\boxed{エ}$項が等しいと定めている。実際に、$2^b < 518 < 2^{b+1}$を満たすような整数$b$は$\boxed{オ}$であることに注意すれば、$a_{518}=\boxed{カ}$である。
エの解答群
⓪ $2^k+i-1$ ① $2^k+i$ ② $2^k+i+1$ ③$2^k+2i$ ④ $2^k+2i+1$
⑤ $2^k-i-1$ ⑥ $2^{k+1}-i$ ⑦ $2^{k+1}-i+1$ ⑧ $2^{k+1}-2i-1$ ⑨ $2^{k+1}-2i$

(3) 点$\textrm{P}_k (k=1,2,3,\cdots)$を次のように定める。
数列$\{a_n\}$の初項から第$2^k$項に着目し、$a_n$を4で割った余りにしたがって、ベクトル$\vec{e_n}$を
\begin{eqnarray}
\vec{e_n}
=
\begin{cases}
(1,0) & a_nが4の倍数のとき \\
(0,1) & a_nを4で割った余りが1のとき\\
(-1,0) & a_nを4で割った余りが2のとき\\
(0,-1) & a_nを4で割った余りが3のとき
\end{cases}
\end{eqnarray}
によって定め、点$\textrm{P}_1$の位置ベクトルを$\overrightarrow{\textrm{OP}_1}=\vec{e_1}+\vec{e_2}$とし、点$\textrm{P}_k (k=2,3,4,\cdots)$の位置ベクトルを$\overrightarrow{\textrm{OP}_k}=\vec{e_1}+\vec{e_2}+\vec{e_3}+\cdots+\vec{e_{2^k}}$とする。たとえば、$\overrightarrow{\textrm{OP}_1}=(1,0)+(0,1)+(-1,0)+(0,1)=(0,2)$である。$\{a_n\}$を定める規則に注目すると、$|\overrightarrow{\textrm{OP}_{k+1}}|$は$|\overrightarrow{\textrm{OP}_{k}}|$の$\boxed{キ}$倍であり、$\angle{\textrm{P}_k\textrm{OP}_{k+1}}=\boxed{ク}$である。このことから$\overrightarrow{\textrm{OP}_{99}}$は$(\boxed{ケ},\boxed{コ})$である。
キの解答群
⓪ $\dfrac18$ ① $\dfrac14$ ② $\dfrac12$ ③ $\dfrac{\sqrt{2}}2$ ④ $1$
⑤ $\sqrt2$ ⑥ $2$ ⑦ $2\sqrt2$ ⑧ $4$ ⑨ $8$
クの解答群
⓪ $15^{\circ}$ ① $30^{\circ}$ ② $45^{\circ}$ ③ $60^{\circ}$ ④ $75^{\circ}$
⑤ $90^{\circ}$ ⑥ $105^{\circ}$ ⑦ $120^{\circ}$ ⑧ $135^{\circ}$ ⑨ $150^{\circ}$
ケ、コの解答群
⓪ $-2^{99}$ ① $-2^{98}$ ② $-2^{49}$ ③ $-2^{48}$ ④ $0$
⑤ $1$ ⑥ $2^{48}$ ⑦ $2^{49}$ ⑧ $2^{98}$ ⑨ $2^{99}$

問題文全文(内容文)：
$2021!$を$5^{504}$で割った余りを求めよ.

問題文全文(内容文)：
$(1+2+3+・・・+n)^2=1^3+2^3+3^3+・・・+n^3$が成り立つことを示せ。
$n$：自然数

2020年岡山県立大学　入試問題