問題文全文(内容文)：
2023大阪公立大学過去問題
p素数　a,n自然数
$4n^2+4n-1=ap$なら
①2n+1とapは互いに素であることを示せ
②$2^{\frac{p-1}{2}}-1$はpで割り切れることを示せ

問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{2}}$ 一辺の長さが2である立方体OADB-CFGEを考える。
$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$とおく。辺AFの中点をM、辺BDの中点をNとし、3点O,M,Nを通る平面$\pi$で立方体を切断する。
(1)平面$\pi$は辺AF,BD以外に辺$\boxed{\ \ あ\ \ }$とその両端以外で交わる。
(2)平面$\pi$と辺$\boxed{\ \ あ\ \ }$との交点をPとすると$\overrightarrow{OP}$=$\boxed{\ \ い\ \ }　\overrightarrow{a}$+$\boxed{\ \ う\ \ }　\overrightarrow{b}$+$\boxed{\ \ え\ \ }　\overrightarrow{c}$
(3)断面の面積は$\displaystyle\frac{\boxed{\ \ キ\ \ }}{\boxed{\ \ ク\ \ }}\sqrt{\boxed{\ \ ケ\ \ }}$である。
(4)切断されてできる立体のうち、頂点Aを含むものの体積は$\displaystyle\frac{\boxed{\ \ コ\ \ }}{\boxed{\ \ サ\ \ }}$である。
(5)平面$\pi$と線分CDとの交点をQとする。
(i)点Qは線分CDを$\boxed{\ \ お\ \ }$に内分する。
(ii)$\overrightarrow{OQ}$=$\boxed{\ \ か\ \ }　\overrightarrow{a}$+$\boxed{\ \ き\ \ }　\overrightarrow{b}$+$\boxed{\ \ く\ \ }　\overrightarrow{c}$である。

$\boxed{\ \ い\ \ }～\boxed{\ \ え\ \ }$, $\boxed{\ \ か\ \ }～\boxed{\ \ く\ \ }$の選択肢
(a)0　(b)1　(c)$\frac{1}{2}$　(d)$\frac{1}{3}$　(e)$\frac{2}{3}$　(f)$\frac{1}{4}$　(g)$\frac{3}{4}$　(h)$\frac{1}{5}$　
(i)$\frac{2}{5}$　(j)$\frac{3}{5}$　(k)$\frac{4}{5}$　(l)$\frac{1}{6}$　(m)$\frac{5}{6}$

$\boxed{\ \ お\ \ }$の選択肢
(a)1：1　(b)2：1　(c)1：2　(d)3：1　(e)1：3　(f)4：1　(g)3：2　
(h)2：3　(i)1：4　(j)5：1　(k)1：5　

問題文全文(内容文)：
平面上で原点Oと3点A(3,1)B(1,2)C(-1,1)を考える。実数s,tに対し、点PをOP=sOA+tOBにより定める。
(1)s,tが条件$-1≦s≦1,-1≦t≦1,-1≦s+t≦1$を満たすとき点P(x,y)の存在する範囲Dを図示しよう。
(2)点Pが(1)で求めた範囲Dを動くとき、内積OP・OCの最大値を求め、そのときのPの座標を求めよう。

問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{5}}$　$xyz空間$において、$直方体ABCD-EFGH$が$z \geqq x^2+y^2$
$(0 \leqq z \leqq 1)$を満たす立体の周辺および内部に存在する。この
直方体の$面ABCD,EFGH$は$xy平面$に平行であり、$頂点A,B,C,D$
は$平面z=1$上に、$頂点E,F,G,H$は$曲面z=x^2+y^2$上に存在する。

$(1)$$直方体ABCD-EFGH$の$面ABCD$および$EFGH$が$1辺$の$長さa$
の正方形のとき、正の実数である$a$の取り得る値の範囲は
$0 \lt a \lt \sqrt{\boxed{\ \ アイ\ \ }}$であり、この直方体の体積は$\frac{\boxed{\ \ ウエ\ \ }}{\boxed{\ \ オカ\ \ }}a^4+\boxed{\ \ キク\ \ }a^2$
である。
$(2)$$直方体ABCD-EFGH$の$面ABFE$および$DCGH$が$1辺$の$長さb$
の正方形のとき、正の実数である$b$の取り得る値の範囲は
$0 \lt b \lt \boxed{\ \ ケコ\ \ }+\boxed{\ \ サシ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ スセ\ \ }}$であり、この直方体の体積は
$b^2\sqrt{\boxed{\ \ ソタ\ \ }b^2+\boxed{\ \ チツ\ \ }b+\boxed{\ \ テト\ \ }}$である。

$(3)$$直方体ABCD-EFGH$の全ての面が$1辺$の$長さc$の正方形のとき、すなわち
$直方体ABCD-EFGH$が立方体のとき、正の実数である$c$の値は
$\boxed{\ \ ナニ\ \ }+\sqrt{\boxed{\ \ ヌネ\ \ }}$であり、$立方体ABCD-EFGH$の体積は
$\boxed{\ \ ノハヒ\ \ }+\boxed{\ \ フヘ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ ホマ\ \ }}$である。

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{\sqrt{ \frac{\pi}{2} }}x^3\cos(x^2)dx$を計算せよ

出典：2015年横浜国立大学　入試問題