問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{4}$ 1辺の長さが$\sqrt 2$の正方形ABCDを底面にもち、高さが1である直方体ABCD－EFGHを、頂点の座標がそれぞれ
A(1,0,0), B(0,1,0), C(-1,0,0), D(0,-1,0),
E(1,0,1), F(0,1,1), G(-1,0,1), H(0,-1,1)
になるように$xyz$空間におく。以下の問いに答えよ。
(1)直方体ABCD－EFGHを直線AEのまわりに1回転してできる回転体を$X_1$とし、また直線ABのまわりに1回転してできる回転体を$X_2$とする。$X_1$の体積$V_1$と$X_2$の体積$V_2$を求めよ。
(2)0≦$t$≦1　とする。平面$x$=$t$と線分EFの共有点の座標を求めよ。
(3)直方体ABCD－EFGHを$x$軸のまわりに1回転してできる回転体を$X_3$とする。
$X_3$の体積$V_3$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$点Oを中心とする半径$2$の球から点を中心とする半径$r(0 \lt r\lt 2)$の球をくり抜いてできた立体$V$がある。いま、点Oからおろした垂線の長さが$x(0 \lt x\lt 2)$である平面$P$で立体$V$を切り、2つの立体に分ける。2つの立体のうち、体積の小さい方を$V_{ 1 }$、大きい方を$V_{2}$とする。

(1)平面$P$による立体$V$の切り口の面積が$π(2-r)^2$であるとき、$x=\sqrt{ \boxed{ アイ }r^2+\boxed{ ウエ } }$である。
(2)$(0 \lt x\lt r)$のとき、$V_{1}$の体積は$(r^2+\boxed{ オカ})πx+\frac{\boxed{キク}}{\boxed{ケコ}}πr^3+\frac{\boxed{サシ}}{\boxed{スセ}}π$であり、$r \leqq x\lt2$のとき、$V_{1}$の体積は$\frac{\boxed{ソタ}}{\boxed{チツ}}πr^3+\boxed{テト}πx+\frac{\boxed{ナニ}}{\boxed{ヌネ}}π$である。
(3)$x=r$において、$V_{1}$の体積と$V_{2}$の体積の比が$1:3$になるとき、$r=\boxed{ノハ}+\sqrt{\boxed{ヒフ}}$である。また、$x=\frac{2}{3}r$において$V_{1}$の体積と$V_{2}$の体積の比が$1:3$になるとき、$r=\boxed{ヘホ}+\sqrt{\boxed{マミ}}$である。

問題文全文(内容文)：
関数$f(x)=\displaystyle \int_{0}^{x}(x\ \cos\ t-\sin\ t)dt(0 \leqq x \leqq 2\pi)$について次の問いに答えよ。
（1）$f(x)$を微分せよ。
（2）$f(x)$の最大値と最小値、およびそのときの$x$の値を求めよ。

問題文全文(内容文)：
曲線x=tanθ、y=cos2θ(-π/4≦θ≦π/4)とx軸で囲まれた部分を、x軸の周りに1回転させてできる立体の体積Vを求めよ。

問題文全文(内容文)：

$\boxed{1}$

(2-2)次の定積分の値を求めよ。

$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}}dx$

$2025$年京都大学理系過去問題