問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 7}}$　原点を$O$とする座標平面上で、2点$(\sqrt{5},0),$$(-\sqrt{5},0)$を焦点とし、2点$A(1,0),$$A^{\prime }(-1,0)$を頂点とする双曲線を$H$とする。$H$の方程式を$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$と表すとき、$a^2=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ネ}}},$ $b^2=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ノ}}}$である。双曲線Hの漸近線のうち、傾きが正であるものの方程式は$y=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ハ}}}x$である。$\mathrm{点}P(p,q)$は双曲線$H$の$\mathrm{第}1\mathrm{象}\mathrm{限}$の部分を動く点とする。$\mathrm{点}P$から$x\mathrm{軸}$に下ろした垂線の足を$Q$、$\mathrm{直}\mathrm{線}PQ$と$\mathrm{双}\mathrm{曲}\mathrm{線}H$の漸近線との交点のうち、$\mathrm{第}1\mathrm{象}\mathrm{限}$にあるものを$R$とする。$\mathrm{点}P$における$H$の接線と$\mathrm{直}\mathrm{線}x=1$との交点を$M$とし、$\mathrm{直}\mathrm{線}OM$と$\mathrm{直}\mathrm{線}AP$との交点を$N$とする。$\mathrm{三}\mathrm{角}\mathrm{形}OQR$の面積を$S$、$\mathrm{三}\mathrm{角}\mathrm{形}OAN$の面積を$T$とするとき、$\frac{T}{S}$は、$p=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ヒ}}}$のとき、最大値$\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{フ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ヘ}}}}$をとる。

2021早稲田大学人間科学部過去問

問題文全文(内容文)：
$a,h$を正の実数とする。座標平面において、原点Oからの距離が
直線$x=h$からの距離の$a$倍であるような点$P$の軌跡を考える。点$P$の座標を$(x,y)$とする
と、$x,y$は次の方程式を満たす。
$(1-\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}})x^2+2\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}x+y^2=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}...(1)$

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}},\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}},\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}$の解答群
$\mathrm{⓪}{a}^2\mathrm{①}{h}^2\mathrm{②}{a}^3\mathrm{③}{a}^{2}h\mathrm{④}a{h}^2$
$\mathrm{⑤}{h}^3\mathrm{⑥}{b}^4\mathrm{⑦}{a}^2{h}^2\mathrm{⑧}a{h}^3\mathrm{⑨}{h}^4$

次に、座標平面の原点$O$を極、$x$軸の正の部分を始線とする極座標を考える。
点$P$の極座標を$(r\theta )$とする。$r\leqq h$を満たすとき、
点$P$の直交座標$(x,y)$を$a,h,\theta$を用いて表すと

$(x,y)=(\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}\cos \theta ,\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}\sin \theta )...(2)$
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}},\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}$の解答群
$\mathrm{⓪}h\mathrm{①}ah\mathrm{②}{h}^2\mathrm{③}a{h}^2\mathrm{④}1+a\cos \theta$
$\mathrm{⑤}1+a\sin \theta \mathrm{⑥}a\cos \theta -1\mathrm{⑦}a\sin \theta -1\mathrm{⑧}1-a\cos \theta \mathrm{⑨}1-a\sin \theta$

(1)から、$a=\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}$のとき、点$P$の軌跡は放物線$x=\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}{y}^2+\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}$となる。
この放物線とy軸で囲まれた図形の面積$S$は
$S=2{\int }_0^{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}xdy=2{\int }_0^{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}(\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}{y}^2+\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}})dy=$
$\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}}{h}^2$
である。したがって、(2)を利用すれば、置換積分法により次の等式が成り立つことが分かる。
${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\cos \theta }{(1+\cos \theta {)}^2}d\theta =\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}$

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}},\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}},\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}$の解答群
$\mathrm{⓪}h\mathrm{①}2h\mathrm{②}\frac{h}{2}\mathrm{③}-\frac{h}{2}\mathrm{④}\frac{1}{h}$
$\mathrm{⑤}-\frac{1}{h}\mathrm{⑥}\frac{1}{2h}\mathrm{⑦}-\frac{1}{2h}\mathrm{⑧}{h}^2\mathrm{⑨}-h^2$

2022明治大学全統理系過去問

問題文全文(内容文)：
$x^2+y^2+z^2=4a^2$ , $z\geqq 0$
$(x-a{)}^2+y^2=a^2$ , $z\geqq 0$
xy平面 (a>0)で囲まれた体積Vを求めよ。

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 3}}$
水平な平面上の異なる2点$\mathrm{A}(0,1),\mathrm{Q}(x,y)$にそれぞれ高さ$h>0,g>0$の塔が平面に垂直に立っている。この平面上にあって$\mathrm{A},\mathrm{Q}$とは異なる点$\mathrm{P}$から2つの塔の先端を見上げる角度が等しくなる状況を考える。ただし、$h\ne g$とする。
(1)点$\mathrm{Q}$の座標が$(t,1)$　(ただし$t>0$)のとき、2つの塔を見上げる角度が等しくなるような点$\mathrm{P}$は、中心の座標が($\boxed{{\displaystyle (\mathrm{あ})}},\boxed{{\displaystyle (\mathrm{い})}}$)、半径が$\boxed{{\displaystyle (\mathrm{う})}}$の円周上にある。
(2)2つの塔を見上げる角度が等しくなるような点$\mathrm{P}$のうち、$y$軸上にあるものがただ1つあるとする。このとき$h$と$g$の間には不等式$\boxed{{\displaystyle (\mathrm{え})}}$が成り立ち、点$\text{Q}(x,y)$は2直線$y=\boxed{{\displaystyle (\mathrm{お})}}$,　$y=\boxed{{\displaystyle (\mathrm{か})}}$のいずれかの上にある。
(3)2つの塔を見上げる角度が等しくなるような点$\mathrm{P}$のうち、$x$軸上にあるものがただ1つであるとする。このとき点$\text{Q}(x,y)$は方程式
$\boxed{{\displaystyle (\mathrm{き})}}{x}^2+\boxed{{\displaystyle (\mathrm{く})}}x+$$\boxed{{\displaystyle (\mathrm{け})}}{y}^2+$$\boxed{{\displaystyle (\mathrm{こ})}}y=1$
で表される2次曲線$C$の上にある。$C$が楕円であるのは$h$と$g$の間に不等式$\boxed{{\displaystyle (\mathrm{さ})}}$が成り立つときであり、そのとき$C$の2つの焦点の座標は$(\boxed{{\displaystyle (\mathrm{し})}},\boxed{{\displaystyle (\mathrm{す})}})$,$(\boxed{{\displaystyle (\mathrm{せ})}},\boxed{{\displaystyle (\mathrm{そ})}})$である。$\boxed{{\displaystyle (\mathrm{さ})}}$が成り立たないとき$C$は双曲線となり、その2つの焦点の座標は$(\boxed{{\displaystyle (\mathrm{た})}},\boxed{{\displaystyle (\mathrm{ち})}})$,$(\boxed{{\displaystyle (\mathrm{つ})}},\boxed{{\displaystyle (\mathrm{て})}})$である。さらに${\displaystyle \frac{h}{g}}=\boxed{{\displaystyle (\mathrm{と})}}$のとき$C$は直角双曲線となる。

2021慶應義塾大学医学部過去問

問題文全文(内容文)：
座標平面上に円C$:x^2+y^2=4$と点$P(6,0)$がある。円C上を点$A(2a,2b)$が
動くとき、線分APの中点をMとし、線分APの垂直二等分線をlとする。
(1)点Mの軌跡の方程式を求め、その軌跡を図示せよ。
(2)直線lの方程式をa,\ bを用いて表せ。
(3)直線lが通過する領域を表す不等式を求め、その領域を図示せよ。

2022上智大理工学部過去問