2次曲線
2次曲線
【数C】【平面上の曲線】4点A(a,0)B(0,b)C(-a,0)D(0,-8)(a＞0,b＞0)を頂点とするひし形ABCDがある。PA・PC=PB・PDを満たす点Pの軌跡を求めよ。
単元：
#平面上の曲線#2次曲線#数学(高校生)#数C
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#4S数学#中高教材#4S数学CのB問題解説#式と曲線
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$4$ 点 $\mathrm{ A }(a, \ 0),\ \mathrm{ B }(0, \ b),\ \mathrm{ C }(-a, \ 0),\ \mathrm{ D }(0, \ -b) \ (a \gt 0, \ b \gt 0)$
を頂点とするひし形 $\mathrm{ABCD}$ がある。
$\mathrm{PA \cdot PC } = \mathrm{PB \cdot PD}$ を満たす点$\mathrm{P}$ の軌跡を求めよ。
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$4$ 点 $\mathrm{ A }(a, \ 0),\ \mathrm{ B }(0, \ b),\ \mathrm{ C }(-a, \ 0),\ \mathrm{ D }(0, \ -b) \ (a \gt 0, \ b \gt 0)$
を頂点とするひし形 $\mathrm{ABCD}$ がある。
$\mathrm{PA \cdot PC } = \mathrm{PB \cdot PD}$ を満たす点$\mathrm{P}$ の軌跡を求めよ。
【数C】【平面上の曲線】直角双曲線x²-y²=a² (a＞0)上の点Pから、2つの漸近線に垂線PQ,PRを下ろす。このとき、PQ・PRは一定であることを証明せよ
単元：
#平面上の曲線#2次曲線#数学(高校生)#数C
教材：
#4S数学#中高教材#4S数学CのB問題解説#式と曲線
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
直角双曲線 $x^2+y^2=a^2 \ (a \gt 0)$ 上の点$\mathrm{P}$ から、
$2$ つの漸近線に垂線$\mathrm{PQ,PR}$ を下ろす。
このとき、 $\mathrm{PQ \cdot PR}$ は一定であることを証明せよ。
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直角双曲線 $x^2+y^2=a^2 \ (a \gt 0)$ 上の点$\mathrm{P}$ から、
$2$ つの漸近線に垂線$\mathrm{PQ,PR}$ を下ろす。
このとき、 $\mathrm{PQ \cdot PR}$ は一定であることを証明せよ。
【数C】【平面上の曲線】楕円x²/8+y²/4=1上の点(2,√2) を通り、この楕円の焦点を焦点とする双曲線の方程式を求めよ。また、双曲線の漸近線の方程式も求めよ。
単元：
#平面上の曲線#2次曲線#数学(高校生)#数C
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#4S数学#中高教材#4S数学CのB問題解説#式と曲線
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
楕円 $\displaystyle \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$ 上の点 $(2,\ \sqrt{2})$を通り、
この楕円の焦点を焦点とする双曲線の方程式を求めよ。
また、双曲線の漸近線の方程式も求めよ。
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楕円 $\displaystyle \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$ 上の点 $(2,\ \sqrt{2})$を通り、
この楕円の焦点を焦点とする双曲線の方程式を求めよ。
また、双曲線の漸近線の方程式も求めよ。
【数C】【平面上の曲線】x²/a²-y²/b²=1の焦点と漸近線の距離を求めよ
単元：
#平面上の曲線#2次曲線#数学(高校生)#数C
教材：
#4S数学#中高教材#4S数学CのB問題解説#式と曲線
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
双曲線 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$\ (a \gt 0,\ b \gt 0)$
の焦点と漸近線の距離を求めよ。
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双曲線 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$\ (a \gt 0,\ b \gt 0)$
の焦点と漸近線の距離を求めよ。
【数C】【平面上の曲線】x²/16+y²/25 =1とy軸の交点をA、Bとする。楕円上の点をPとし、直線PA, PBとx軸の交点をそれぞれQ, R とするとき、 OQ・ORの値は一定であることを示せ。
単元：
#平面上の曲線#2次曲線#数学(高校生)#数C
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#4S数学#中高教材#4S数学CのB問題解説#式と曲線
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
原点を $\mathrm{O}$、楕円 $\displaystyle \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{25}=1$ と $y$ 軸の交点を $\mathrm{A,B}$ とする。
$\mathrm{A,B}$ 以外の楕円上の点を$\mathrm{P}$ とし、直線 $\mathrm{PA,\ PB}$ と $x$ 軸の交点をそれぞれ $\mathrm{Q,R}$ とするとき、
$\mathrm{OQ \cdot OR}$ の値は一定であることを示せ。
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原点を $\mathrm{O}$、楕円 $\displaystyle \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{25}=1$ と $y$ 軸の交点を $\mathrm{A,B}$ とする。
$\mathrm{A,B}$ 以外の楕円上の点を$\mathrm{P}$ とし、直線 $\mathrm{PA,\ PB}$ と $x$ 軸の交点をそれぞれ $\mathrm{Q,R}$ とするとき、
$\mathrm{OQ \cdot OR}$ の値は一定であることを示せ。
【数C】【平面上の曲線】2点 A(- 2, 0) , B(2, 0) と楕円 x²/36 + y²/9 = 1上の点Qでできる△AQBの重心Pの軌跡を求めよ。
単元：
#平面上の曲線#2次曲線#数学(高校生)#数C
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#4S数学#中高教材#4S数学CのB問題解説#式と曲線
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$2$ 点 $\mathrm{A}(-2,\ 0),\ \mathrm{B}(2,\ 0)$と、
楕円 $\displaystyle \frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$ 上の点$\mathrm{Q}$でできる
$\triangle \mathrm{AQB}$ の重心$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ。
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$2$ 点 $\mathrm{A}(-2,\ 0),\ \mathrm{B}(2,\ 0)$と、
楕円 $\displaystyle \frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$ 上の点$\mathrm{Q}$でできる
$\triangle \mathrm{AQB}$ の重心$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ。
【数C】【平面上の曲線】長さ8の線分ABの端点Aは軸上を、 端点Bはy軸上を動くとする。(1) 線分ABを5:3に内分する点Pの軌跡を求めよ。(2) 線分ABを5:3に外分する点Qの軌跡を求めよ。
単元：
#平面上の曲線#2次曲線#数学(高校生)#数C
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#4S数学#中高教材#4S数学CのB問題解説#式と曲線
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
長さ $8$ の線分 $\mathrm{AB}$ の端点$\mathrm{A}$ は $x$ 軸上を、
端点$\mathrm{B}$ は $y$ 軸上を動くとする。
(1) 線分 $\mathrm{AB}$ を $5:3$ に内分する点 $\mathrm{P}$ の軌跡を求めよ。
(2) 線分 $\mathrm{AB}$ を $5:3$ に外分する点 $\mathrm{Q}$ の軌跡を求めよ。
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長さ $8$ の線分 $\mathrm{AB}$ の端点$\mathrm{A}$ は $x$ 軸上を、
端点$\mathrm{B}$ は $y$ 軸上を動くとする。
(1) 線分 $\mathrm{AB}$ を $5:3$ に内分する点 $\mathrm{P}$ の軌跡を求めよ。
(2) 線分 $\mathrm{AB}$ を $5:3$ に外分する点 $\mathrm{Q}$ の軌跡を求めよ。
【数C】【平面上の曲線】次のような楕円の方程式を求めよ。ただし、中心は原点で、長軸はx軸上、短軸はy軸上にあるものとする。 (1) 長軸の長さが6,短軸の長さが4 (2) 2つの焦点間の距離が6,長軸の長さが10 (3) 2点(2,2√5/3), (-3√3/2,1)を通る
単元：
#平面上の曲線#2次曲線#数学(高校生)#数C
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#4S数学#中高教材#4S数学CのB問題解説#式と曲線
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次のような楕円の方程式を求めよ。
ただし、中心は原点で、長軸は $x$ 軸上、
短軸は $y$ 軸上にあるものとする。
(1) 長軸の長さが $6$ 、短軸の長さが $4$
(2) $2$ つの焦点間の距離が $6$, 長軸の長さが $10$
(3) $2$ 点 $\displaystyle (2,\ \frac{2\sqrt{5}}{3}),\ (-\frac{3\sqrt{3}}{2},\ 1)$を通る
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次のような楕円の方程式を求めよ。
ただし、中心は原点で、長軸は $x$ 軸上、
短軸は $y$ 軸上にあるものとする。
(1) 長軸の長さが $6$ 、短軸の長さが $4$
(2) $2$ つの焦点間の距離が $6$, 長軸の長さが $10$
(3) $2$ 点 $\displaystyle (2,\ \frac{2\sqrt{5}}{3}),\ (-\frac{3\sqrt{3}}{2},\ 1)$を通る
【数C】【平面上の曲線】楕円x²/9 + y²/4 = 1 上の点Pと点(2,0)の距離lの最小値、および最大値を求めよ
単元：
#平面上の曲線#2次曲線#数学(高校生)#数C
教材：
#4S数学#中高教材#4S数学CのB問題解説#式と曲線
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
楕円 $\displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ 上の
点 $\mathrm{P}$ と点$(2,\ 0)$ の距離 $l$ の最小値、および最大値を求めよ。
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楕円 $\displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ 上の
点 $\mathrm{P}$ と点$(2,\ 0)$ の距離 $l$ の最小値、および最大値を求めよ。
【数C】【平面上の曲線】辺が座標軸に平行な長方形が、楕円x²/16+y²/12=1に内接している。この長方形の周の長さが20であるとき、長方形の2辺の長さを求めよ。
単元：
#平面上の曲線#2次曲線#数学(高校生)#数C
教材：
#4S数学#中高教材#4S数学CのB問題解説
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
辺が座標軸に平行な長方形が、
楕円 $\displaystyle \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$ に内接している。
この長方形の周の長さが $20$ であるとき、
長方形の $2$ 辺の長さを求めよ。
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辺が座標軸に平行な長方形が、
楕円 $\displaystyle \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$ に内接している。
この長方形の周の長さが $20$ であるとき、
長方形の $2$ 辺の長さを求めよ。
【数C】【平面上の曲線】2次曲線3 ※問題文は概要欄
単元：
#平面上の曲線#2次曲線#数学(高校生)#数C
教材：
#4S数学#中高教材#4S数学CのB問題解説#式と曲線
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
放物線 $ C \mathrm{：} \ x^2 = 4y$ の焦点を $\mathrm{F}$、$C$ 上の点を $\mathrm{P}$ 、 $\mathrm{P}$ から準線に下した垂線を $\mathrm{PH}$ とする。 $\triangle \mathrm{PFH}$ が正三角形になるとき、 $\mathrm{P}$ の $x$ 座標 $a$ を求めよ。また、$ a \gt 0$ のとき、辺 $\mathrm{FH}$ と $C$ の交点 $\mathrm{Q}$ の $x$ 座標 $b$ と $\triangle \mathrm{PFQ}$ の面積 $S$ を求めよ。
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放物線 $ C \mathrm{：} \ x^2 = 4y$ の焦点を $\mathrm{F}$、$C$ 上の点を $\mathrm{P}$ 、 $\mathrm{P}$ から準線に下した垂線を $\mathrm{PH}$ とする。 $\triangle \mathrm{PFH}$ が正三角形になるとき、 $\mathrm{P}$ の $x$ 座標 $a$ を求めよ。また、$ a \gt 0$ のとき、辺 $\mathrm{FH}$ と $C$ の交点 $\mathrm{Q}$ の $x$ 座標 $b$ と $\triangle \mathrm{PFQ}$ の面積 $S$ を求めよ。
【数C】【平面上の曲線】2次曲線2 ※問題文は概要欄
単元：
#平面上の曲線#2次曲線#数学(高校生)#数C
教材：
#4S数学#中高教材#4S数学CのB問題解説#式と曲線
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の条件を満たす点 $\mathrm{P}$ の軌跡を求めよ。
(1) 直線 $x=-2$に接し、点 $(2,0)$を通る円の中心 $\mathrm{P}$
(2) 円 $ x^2 + (y+2)^2 = 1$ と直線 $y=1$の両方に接する円の中心 $\mathrm{P}$
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次の条件を満たす点 $\mathrm{P}$ の軌跡を求めよ。
(1) 直線 $x=-2$に接し、点 $(2,0)$を通る円の中心 $\mathrm{P}$
(2) 円 $ x^2 + (y+2)^2 = 1$ と直線 $y=1$の両方に接する円の中心 $\mathrm{P}$
【数C】【平面上の曲線】2次曲線1 ※問題文は概要欄
単元：
#平面上の曲線#2次曲線#数学(高校生)#数C
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#4S数学#中高教材#4S数学CのB問題解説#式と曲線
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次のような放物線の方程式を求めよ。
(1) 軸が x軸、頂点が原点で、点 (8,4)を通る放物線
(2) 頂点が原点で、焦点がx軸上にあり、点(-3,3)を通る放物線
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次のような放物線の方程式を求めよ。
(1) 軸が x軸、頂点が原点で、点 (8,4)を通る放物線
(2) 頂点が原点で、焦点がx軸上にあり、点(-3,3)を通る放物線
高校数学：数学検定準1級1次：問題6,7 双曲線の焦点、関数の極限
単元：
#数学検定・数学甲子園・数学オリンピック等#平面上の曲線#関数と極限#2次曲線#関数の極限#数学検定#数学検定準1級#数学(高校生)#数C#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
xy平面上の双曲線
$\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{64}=-1$
の焦点の座標を求めなさい。
次の極限値を求めなさい。
$\displaystyle \lim_{ x \to 1 }\displaystyle \frac{x^2+2x-3}{\sqrt[ 3 ]{ x }-1}$
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xy平面上の双曲線
$\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{64}=-1$
の焦点の座標を求めなさい。
次の極限値を求めなさい。
$\displaystyle \lim_{ x \to 1 }\displaystyle \frac{x^2+2x-3}{\sqrt[ 3 ]{ x }-1}$
数学どうにかしたい人へ
単元：
#数Ⅰ#数A#数Ⅱ#数と式#２次関数#場合の数と確率#図形の性質#式と証明#複素数と方程式#平面上のベクトル#空間ベクトル#平面上の曲線#複素数平面#図形と計量#データの分析#式の計算（整式・展開・因数分解）#実数と平方根（循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号）#一次不等式（不等式・絶対値のある方程式・不等式）#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#2次方程式と2次不等式#2次関数とグラフ#三角比（三角比・拡張・相互関係・単位円）#三角比への応用（正弦・余弦・面積）#データの分析#整数の性質#場合の数#確率#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#内心・外心・重心とチェバ・メネラウス#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#方べきの定理と２つの円の関係#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#図形と方程式#三角関数#指数関数と対数関数#微分法と積分法#整式の除法・分数式・二項定理#恒等式・等式・不等式の証明#複素数#解と判別式・解と係数の関係#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#円と方程式#軌跡と領域#三角関数とグラフ#加法定理とその応用#指数関数#対数関数#平均変化率・極限・導関数#接線と増減表・最大値・最小値#数列#確率分布と統計的な推測#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#空間ベクトル#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#漸化式#数学的帰納法#確率分布#統計的な推測#関数と極限#微分とその応用#積分とその応用#2次曲線#複素数平面#図形への応用#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数列の極限#関数の極限#微分法#色々な関数の導関数#接線と法線・平均値の定理#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#不定積分#定積分#面積・体積・長さ・速度#空間における垂直と平行と多面体（オイラーの法則）#不定積分・定積分#面積、体積#媒介変数表示と極座標#速度と近似式#数学(高校生)#数B#数C#数Ⅲ
指導講師：
カサニマロ【べんとう・ふきのとうの授業動画】
問題文全文(内容文)：
数学が共通テストのみの人の勉強法紹介動画です
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2023高校入試数学解説54問目 グラフ 明治学院
単元：
#数学(中学生)#平面上の曲線#2次曲線#高校入試過去問(数学)#数C
指導講師：
数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
$y=\frac{a}{x}$のグラフと点P(2,1)を表した図
a>2となるグラフはどれ？
＊図は動画内参照
2023明治学院高等学校
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$y=\frac{a}{x}$のグラフと点P(2,1)を表した図
a>2となるグラフはどれ？
＊図は動画内参照
2023明治学院高等学校
福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題101〜慶應義塾大学2020年度環境情報学部第１問(1)〜不定方程式の解
単元：
#数Ⅰ#数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#数と式#平面上の曲線#一次不等式（不等式・絶対値のある方程式・不等式）#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#三角関数#加法定理とその応用#2次曲線#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{1}$ (1)正の実数xとyが9$x^2$+16$y^2$=144 を満たしているとき、xyの最大値は$\boxed{\ \ アイ\ \ }$である。
2020慶應義塾大学環境情報学部過去問
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$\Large\boxed{1}$ (1)正の実数xとyが9$x^2$+16$y^2$=144 を満たしているとき、xyの最大値は$\boxed{\ \ アイ\ \ }$である。
2020慶應義塾大学環境情報学部過去問
福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題004〜東北大学2015年理系数学第１問
単元：
#大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#2次曲線#学校別大学入試過去問解説(数学)#媒介変数表示と極座標#東北大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
xy平面において、次の式が表す曲線をCとする。
$x^2+4y^2=1,x \gt 0, y \gt 0$
PをC上の点とする。PでCに接する直線をlとし、Pを通りlと垂直な直線を
mとして、x軸とy軸とmで囲まれてできる三角形の面積をSとする。PがC
上の点全体をうごくとき、Sの最大値とその時のPの座標を求めよ。
2015東北大学理系過去問
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xy平面において、次の式が表す曲線をCとする。
$x^2+4y^2=1,x \gt 0, y \gt 0$
PをC上の点とする。PでCに接する直線をlとし、Pを通りlと垂直な直線を
mとして、x軸とy軸とmで囲まれてできる三角形の面積をSとする。PがC
上の点全体をうごくとき、Sの最大値とその時のPの座標を求めよ。
2015東北大学理系過去問
福田の数学〜上智大学2022年理工学部第４問〜線分の中点の軌跡と直線の通過範囲
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#図形と方程式#軌跡と領域#2次曲線#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
座標平面上に円C$:x^2+y^2=4$と点$P(6,\ 0)$がある。円C上を点$A(2a,\ 2b)$が
動くとき、線分APの中点をMとし、線分APの垂直二等分線をlとする。
(1)点Mの軌跡の方程式を求め、その軌跡を図示せよ。
(2)直線lの方程式をa,\ bを用いて表せ。
(3)直線lが通過する領域を表す不等式を求め、その領域を図示せよ。
2022上智大理工学部過去問
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座標平面上に円C$:x^2+y^2=4$と点$P(6,\ 0)$がある。円C上を点$A(2a,\ 2b)$が
動くとき、線分APの中点をMとし、線分APの垂直二等分線をlとする。
(1)点Mの軌跡の方程式を求め、その軌跡を図示せよ。
(2)直線lの方程式をa,\ bを用いて表せ。
(3)直線lが通過する領域を表す不等式を求め、その領域を図示せよ。
2022上智大理工学部過去問
福田の数学〜明治大学2022年全学部統一入試理系第３問〜2次曲線の極方程式と置換積分
単元：
#大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#微分とその応用#積分とその応用#2次曲線#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#媒介変数表示と極座標#明治大学#数学(高校生)#数C#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$a,\ h$を正の実数とする。座標平面において、原点Oからの距離が
直線$x=h$からの距離の$a$倍であるような点$P$の軌跡を考える。点$P$の座標を$(x,\ y)$とする
と、$x,\ y$は次の方程式を満たす。
$(1-\boxed{ア})\ x^2+2\ \boxed{イ}\ x+y^2=\boxed{ウ}...(1)$
$\boxed{ア},\ \boxed{イ},\ \boxed{ウ}$の解答群
$⓪a^2 ①h^2 ②a^3 ③a^2h ④ah^2$
$⑤h^3 ⑥b^4 ⑦a^2h^2 ⑧ah^3 ⑨h^4$
次に、座標平面の原点$O$を極、$x$軸の正の部分を始線とする極座標を考える。
点$P$の極座標を$(r\ \theta)$とする。$r \leqq h$を満たすとき、
点$P$の直交座標$(x,\ y)$を$a,\ h,\ θ$を用いて表すと
$(x,\ y)=(\frac{\boxed{エ}}{\boxed{オ}}\ \cos θ,\ \frac{\boxed{エ}}{\boxed{オ}}\ \sin θ)...(2) $
$\boxed{エ},\ \boxed{オ}$の解答群
$⓪h①ah②h^2③ah^2④1+a\cos θ$
$⑤1+a\sin θ ⑥a\cos θ-1⑦a\sin θ-1⑧1-a\cos θ ⑨1-a\sin θ$
(1)から、$a=\boxed{カ}$のとき、点$P$の軌跡は放物線$x=\boxed{キ}\ y^2+\boxed{ク}$となる。
この放物線とy軸で囲まれた図形の面積$S$は
$S=2\int_0^{\boxed{ケ}}xdy=2\int_0^{\boxed{ケ}}(\boxed{キ}\ y^2+\boxed{ク})dy=$
$\frac{\boxed{コ}}{\boxed{サ}}\ h^2$
である。したがって、(2)を利用すれば、置換積分法により次の等式が成り立つことが分かる。
$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos θ}{(1+\cos θ)^2}dθ=\frac{\boxed{シ}}{\boxed{ス}}$
$\boxed{キ},\ \boxed{ク},\ \boxed{ケ}$の解答群
$⓪h ①2h ②\frac{h}{2} ③-\frac{h}{2} ④\frac{1}{h}$
$⑤-\frac{1}{h} ⑥\frac{1}{2h} ⑦-\frac{1}{2h} ⑧h^2 ⑨-h^2$
2022明治大学全統理系過去問
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$a,\ h$を正の実数とする。座標平面において、原点Oからの距離が
直線$x=h$からの距離の$a$倍であるような点$P$の軌跡を考える。点$P$の座標を$(x,\ y)$とする
と、$x,\ y$は次の方程式を満たす。
$(1-\boxed{ア})\ x^2+2\ \boxed{イ}\ x+y^2=\boxed{ウ}...(1)$
$\boxed{ア},\ \boxed{イ},\ \boxed{ウ}$の解答群
$⓪a^2 ①h^2 ②a^3 ③a^2h ④ah^2$
$⑤h^3 ⑥b^4 ⑦a^2h^2 ⑧ah^3 ⑨h^4$
次に、座標平面の原点$O$を極、$x$軸の正の部分を始線とする極座標を考える。
点$P$の極座標を$(r\ \theta)$とする。$r \leqq h$を満たすとき、
点$P$の直交座標$(x,\ y)$を$a,\ h,\ θ$を用いて表すと
$(x,\ y)=(\frac{\boxed{エ}}{\boxed{オ}}\ \cos θ,\ \frac{\boxed{エ}}{\boxed{オ}}\ \sin θ)...(2) $
$\boxed{エ},\ \boxed{オ}$の解答群
$⓪h①ah②h^2③ah^2④1+a\cos θ$
$⑤1+a\sin θ ⑥a\cos θ-1⑦a\sin θ-1⑧1-a\cos θ ⑨1-a\sin θ$
(1)から、$a=\boxed{カ}$のとき、点$P$の軌跡は放物線$x=\boxed{キ}\ y^2+\boxed{ク}$となる。
この放物線とy軸で囲まれた図形の面積$S$は
$S=2\int_0^{\boxed{ケ}}xdy=2\int_0^{\boxed{ケ}}(\boxed{キ}\ y^2+\boxed{ク})dy=$
$\frac{\boxed{コ}}{\boxed{サ}}\ h^2$
である。したがって、(2)を利用すれば、置換積分法により次の等式が成り立つことが分かる。
$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos θ}{(1+\cos θ)^2}dθ=\frac{\boxed{シ}}{\boxed{ス}}$
$\boxed{キ},\ \boxed{ク},\ \boxed{ケ}$の解答群
$⓪h ①2h ②\frac{h}{2} ③-\frac{h}{2} ④\frac{1}{h}$
$⑤-\frac{1}{h} ⑥\frac{1}{2h} ⑦-\frac{1}{2h} ⑧h^2 ⑨-h^2$
2022明治大学全統理系過去問
福田の数学〜早稲田大学2022年人間科学部第6問〜楕円を軸以外の直線で回転させた立体の体積
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#微分法と積分法#接線と増減表・最大値・最小値#微分とその応用#積分とその応用#2次曲線#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#定積分#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数C#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\large\boxed{6}}$直線$x+y=1$に接する楕円$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a \gt 0,\ b \gt 0)$がある。
このとき、$b^2=\boxed{\ \ ア\ \ }\ a^2+\boxed{\ \ イ\ \ }$である。
この楕円を直線$y=b$のまわりに1回転してできる立体の体積は、
$a=\frac{\sqrt{\boxed{\ \ ウ\ \ }}}{\boxed{\ \ エ\ \ }}$のとき、
最大値$\frac{\boxed{\ \ オ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ カ\ \ }}}{\boxed{\ \ キ\ \ }}\pi^2$をとる。
2022早稲田大学人間科学部過去問
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${\large\boxed{6}}$直線$x+y=1$に接する楕円$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a \gt 0,\ b \gt 0)$がある。
このとき、$b^2=\boxed{\ \ ア\ \ }\ a^2+\boxed{\ \ イ\ \ }$である。
この楕円を直線$y=b$のまわりに1回転してできる立体の体積は、
$a=\frac{\sqrt{\boxed{\ \ ウ\ \ }}}{\boxed{\ \ エ\ \ }}$のとき、
最大値$\frac{\boxed{\ \ オ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ カ\ \ }}}{\boxed{\ \ キ\ \ }}\pi^2$をとる。
2022早稲田大学人間科学部過去問
福田の数学〜神戸大学2022年理系第４問〜双曲線が直線から切り取る弦の中点の軌跡
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#図形と方程式#点と直線#軌跡と領域#2次曲線#学校別大学入試過去問解説(数学)#神戸大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
aを正の実数とし、双曲線$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{4}=1$と直線$y=\sqrt ax+\sqrt a$が異なる2点P,Q
で交わっているとする。線分PQの中点をR(s,t)とする。以下の問いに答えよ。
(1)aの取りうる値の範囲を求めよ。
(2)s,tの値をaを用いて表せ。
(3)aが(1)で求めた範囲を動くときにsのとりうる値の範囲を求めよ。
(4)tの値をsを用いて表せ。
2022神戸大学理系過去問
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aを正の実数とし、双曲線$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{4}=1$と直線$y=\sqrt ax+\sqrt a$が異なる2点P,Q
で交わっているとする。線分PQの中点をR(s,t)とする。以下の問いに答えよ。
(1)aの取りうる値の範囲を求めよ。
(2)s,tの値をaを用いて表せ。
(3)aが(1)で求めた範囲を動くときにsのとりうる値の範囲を求めよ。
(4)tの値をsを用いて表せ。
2022神戸大学理系過去問
【数Ⅲ】双曲線関数について（関数として知っておこう！知識編）
単元：
#平面上の曲線#2次曲線#数学(高校生)#数C
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
あまり学校で聞かない、双曲線関数の性質を教えます！（数学Ⅲにおける重要関数！）
y=(e^x+e^(-x))/2と表される、カテナリー曲線の一種とは？？
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あまり学校で聞かない、双曲線関数の性質を教えます！（数学Ⅲにおける重要関数！）
y=(e^x+e^(-x))/2と表される、カテナリー曲線の一種とは？？
【数Ⅲ】2次曲線：双曲線関数について（関数として知っておこう！知識編）
単元：
#平面上の曲線#2次曲線#数学(高校生)#数C
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
あまり学校で聞かない、双曲線関数の性質を教えます！（数学Ⅲにおける重要関数！）
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あまり学校で聞かない、双曲線関数の性質を教えます！（数学Ⅲにおける重要関数！）
【数Ⅲ】極方程式をゼロからはじめましょう
【数Ⅲ】2次曲線：極方程式をゼロからはじめましょう
【数Ⅲ】2次曲線：極座標をゼロから始めましょう
大学入試問題#133 京都大学(2009) 極方程式の曲線の長さ
単元：
#大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#2次曲線#学校別大学入試過去問解説(数学)#媒介変数表示と極座標#京都大学#数学(高校生)
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
極方程式
$r=1+\cos\theta$
$(0 \leqq \theta \leqq \pi)$で表される曲線の長さ$l$を求めよ。
出典：2009年京都大学 入試問題
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極方程式
$r=1+\cos\theta$
$(0 \leqq \theta \leqq \pi)$で表される曲線の長さ$l$を求めよ。
出典：2009年京都大学 入試問題
福田の数学〜東京慈恵会医科大学2022年医学部第４問〜複素数平面と図形
単元：
#数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形の性質#平面上の曲線#複素数平面#方べきの定理と２つの円の関係#図形と方程式#点と直線#2次曲線#複素数平面#図形への応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数C#東京慈恵会医科大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
複素数平面上の点zが原点を中心とする半径1の円周上を動くとき、$w=z+\frac{2}{z}$
で表される点wの描く図形をCとする。Cで囲まれた部分の内部(ただし、
境界線は含まない)に定点$\alpha$をとり、$\alpha$を通る直線lがCと交わる2点を$\beta_1,\beta_2$とする。
(1)$w=u+vi$(u,vは実数)とするとき、uとvの間に成り立つ関係式を求めよ。
(2)点$\alpha$を固定したままlを動かすとき、積$|\beta_1-\alpha|・|\beta_2-\alpha|$が最大となる
ようなlはどのような直線のときか調べよ。
2022東京慈恵会医科大学医学部過去問
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複素数平面上の点zが原点を中心とする半径1の円周上を動くとき、$w=z+\frac{2}{z}$
で表される点wの描く図形をCとする。Cで囲まれた部分の内部(ただし、
境界線は含まない)に定点$\alpha$をとり、$\alpha$を通る直線lがCと交わる2点を$\beta_1,\beta_2$とする。
(1)$w=u+vi$(u,vは実数)とするとき、uとvの間に成り立つ関係式を求めよ。
(2)点$\alpha$を固定したままlを動かすとき、積$|\beta_1-\alpha|・|\beta_2-\alpha|$が最大となる
ようなlはどのような直線のときか調べよ。
2022東京慈恵会医科大学医学部過去問
福田の数学〜明治大学2021年全学部統一入試Ⅲ第２問(1)〜楕円と複素数平面
単元：
#平面上の曲線#複素数平面#図形と計量#三角比（三角比・拡張・相互関係・単位円）#2次曲線#複素数平面#大学入試解答速報#数学#明治大学#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{2}}$(1)座標平面において、点$(-1,\ 0)$からの距離と点$(1,\ 0)$からの距離の和が4
である点は方程式$\frac{x^2}{\boxed{\ \ ア\ \ }}+\frac{y^2}{\boxed{\ \ イ\ \ }}=1$で表される曲線C上にある。点$(x,\ y)$
が曲線C上を動くとき、点$(x,\ y)$と点$(-1,\ 0)$の距離をdとおけば、dの最小値
は$\boxed{\ \ ウ\ \ }$、最大値は$\boxed{\ \ エ\ \ }$となる。複素数$z$が$|z|+|z-4|=8$を満たすとき、
$|z|$のとりうる範囲は$\boxed{\ \ オ\ \ } \leqq |z| \leqq \boxed{\ \ カ\ \ }$である。
2021明治大学全統過去問
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${\Large\boxed{2}}$(1)座標平面において、点$(-1,\ 0)$からの距離と点$(1,\ 0)$からの距離の和が4
である点は方程式$\frac{x^2}{\boxed{\ \ ア\ \ }}+\frac{y^2}{\boxed{\ \ イ\ \ }}=1$で表される曲線C上にある。点$(x,\ y)$
が曲線C上を動くとき、点$(x,\ y)$と点$(-1,\ 0)$の距離をdとおけば、dの最小値
は$\boxed{\ \ ウ\ \ }$、最大値は$\boxed{\ \ エ\ \ }$となる。複素数$z$が$|z|+|z-4|=8$を満たすとき、
$|z|$のとりうる範囲は$\boxed{\ \ オ\ \ } \leqq |z| \leqq \boxed{\ \ カ\ \ }$である。
2021明治大学全統過去問