問題文全文(内容文)：
xを有理数とする
$\frac{35}{12}x$と$\frac{21}{20}x$の値がともに自然数となる
最も小さいxの値を求めよ
2024大阪府

問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{11}}$　数列$\left\{a_n\right\}$を次の条件によって定める。
$a_1=2$,　　$a_{n+1}=1+\frac{1}{\displaystyle1-\sum_{k=1}^n\frac{1}{a_k}}$ (n=1,2,3,$\cdots$)
(1) $a_5$を求めよ。
(2) $a_{n+1}$を$a_n$の式で表せ。
(3) 無限級数$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{a_k}$が収束することを示し、その和を求めよ。

2017千葉大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
(1)関数$y=\frac{1}{x}$の定積分を用いて、$n\geqq 2$を満たすすべての$n$に対して$f(x)\gt 0$が成り立つことを示せ。
(2)$f(x)=x+\frac{x}{1+x}-2\log (1+x)$とおく。すべての正の実数$x$に対して、$f(x)\gt 0$が成り立つことを証明せよ。さらに、すべての正の整数$n$に対して$\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}\gt 2\log (1+\frac{1}{n})$を示せ。
(3)$n\geqq 2$を満たすすべての整数$n$に対して$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\frac{1}{2}(1+\frac{1}{n})\gt \log n$が成り立つことを証明せよ。

問題文全文(内容文)：
数列$\{a_{n}\}$に対して$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k(n=1,2,3,・・・)$とし、さらに$S_0=0$と定める。$\{a_n\}$は$S_n=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}(n+3)a_{n+1}$(n=0,1,2,・・・)を満たすとする。
(1)$a_1=\dfrac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}$である。また、$n \geqq 1$に対して$a_n=S_n-S_{n-1}$であるから、関係式$(n+\fbox{ウ})a_{n+1}=(n+\fbox{エ})a_n (n=1,2,3,・・・)$・・・(*)が得られる。数列$\{{b_n}\}$を$b_n=n(n+1)(n+2)a_n (n=1,2,3,・・・)$で定めると、$b_1=\fbox{オ}$であり、$n \geqq 1$に対して$b_{n+1}=\fbox{カ}b_n$が成り立つ。ゆえに$a_n=\dfrac{\fbox{キ}}{n(n+1)(n+2)}$が得られる。
次に、数列$\{{T_n}\}=\displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{a_k}{(k+3)(k+4)}(n=1,2,3,・・・)$で定める。
(2)(*)より導かれる関係式
$\dfrac{a_k}{k+3}-\dfrac{a_{k+1}}{k+4}=\dfrac{\fbox{ク}a_k}{(k+3)(k+4)} (k=1,2,3,・・・)$
を用いると
$T_n=A-\dfrac{\fbox{ケ}}{\fbox{コ}(n+p)(n+q)(n+r)(n+s)}(n=1,2,3,・・・)$
が得られる。ただしここに$A=\fbox{サ}{シス}$であり、$p \lt q\lt r \lt s$として$p=\fbox{セ},q=\fbox{ソ},r=\fbox{タ},s=\fbox{チ}$である。
(3)不等式$|T_n-A| \lt\dfrac{1}{10000(n+1)(n+2)}$を満たす最小の自然数$nはn=\fbox{ツテ}$である。

2023慶應義塾大学経済学部過去問

問題文全文(内容文)：
$a_1=1,S_n=\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$
$S_{n+1}=3S_n+4n^3+1$
これの一般項aを求めよ.

東京女子医大過去問