福田の数学〜格子点の個数を数えるコツ〜北里大学2023年医学部第1問(1)〜複素数平面上の円の内部にある格子点 - 質問解決D.B.(データベース)

福田の数学〜格子点の個数を数えるコツ〜北里大学2023年医学部第1問(1)〜複素数平面上の円の内部にある格子点

問題文全文(内容文):
( 1 ) 8 の 6 乗根のうち、実部が正で虚部が負である複素数をzとする。このとき、$\fbox{ア}$であり、$z+z^5=\fbox{イ}$。複素数平面において、点zを中心とする円Cが実軸と2点a,bで交わり、$|a-b|=\sqrt{30}$を満たしている。このとき、円Cの半径 r は$r=\fbox{ウ}$である。また、円Cの内部にある複素数のうち、実部、虚部ともに 0 以上の整数であるものの個数は$\fbox{エ}$である。
単元: #大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#北里大学#数学(高校生)#数C
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
( 1 ) 8 の 6 乗根のうち、実部が正で虚部が負である複素数をzとする。このとき、$\fbox{ア}$であり、$z+z^5=\fbox{イ}$。複素数平面において、点zを中心とする円Cが実軸と2点a,bで交わり、$|a-b|=\sqrt{30}$を満たしている。このとき、円Cの半径 r は$r=\fbox{ウ}$である。また、円Cの内部にある複素数のうち、実部、虚部ともに 0 以上の整数であるものの個数は$\fbox{エ}$である。
投稿日:2023.12.16

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指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}} 複素数\alpha=2+i, \beta=-\frac{1}{2}+iに対応する複素数平面上の点をA(\alpha),\ B(\beta)とする。\\
このとき、以下の問いに答えよ。\\
(1)複素数平面上の点C(\alpha^2),\ D(\beta^2)と原点Oの3点は一直線上にあることを示せ。\\
\\
(2)点P(z)が直線AB上を動くとき、z^2の実部をx、虚部をyとして、点Q(z^2)の軌跡\\
をx,yの方程式で表せ。\\
\\
(3)点P(z)が三角形OABの周および内部にあるとき、点Q(z^2)全体のなす図形をK\\
とする。Kを複素数平面上に図示せよ。\\
\\
(4)(3)の図形Kの面積を求めよ。
\end{eqnarray}
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問題文全文(内容文):
$
\begin{eqnarray}
&&2023福島大\\
&&Z=1+\sqrt{3}iの時\\
&&1+Z+Z^2+Z^3+Z^4+Z^5

\end{eqnarray}
$
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問題文全文(内容文):
$ x^2-\sqrt3x+1=0のとき,x^{30}+\dfrac{1}{x^{30}}の値を求めよ.$
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z=x+yi
$z^3=\overline{z}^2$のときxを求めよ
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問題文全文(内容文):
$ \alpha=\cos36°+i\sin36°とする.

(1)(x-1)(x-\alpha)(x-\alpha^2)・・・・・・(x-\alpha^9)を計算せよ.
(2)(x-1)(x-\alpha^2)(x-\alpha^4)(x-\alpha^6)(x-\alpha^8)を計算せよ.
(3)(x-\alpha)(x-\alpha^3)(x-\alpha^7)(x-\alpha^9)を計算せよ.
(4)(3)を用いて\alpha+\dfrac{1}{\alpha}を計算せよ.$
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