問題文全文(内容文)：
第5問
三角錐PABCにおいて、辺BCの中点をMとおく。また、$\mathrm{\angle }$PAB=$\mathrm{\angle }$PACとし、この角度をθをおく。0°＜ θ ＜ 90°とする。
(1)$\overrightarrow{AM}$は
$\overrightarrow{AM}$=$\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}}\overrightarrow{AB}$+$\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}}\overrightarrow{AC}$
と表せる。また
$\frac{\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{AB}|}$=$\frac{\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{AC}|}$=$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}}$　　...①
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}}$の解答群
⓪$\sin \theta$　①$\cos \theta$　②$\tan \theta$　
③$\frac{1}{\sin \theta }$　④$\frac{1}{\cos \theta }$　⑤$\frac{1}{\tan \theta }$　
⑥$\sin \mathrm{\angle }$BPC　⑦$\cos \mathrm{\angle }$BPC　⑧$\tan \mathrm{\angle }$BPC
(2)θ=45°とし、さらに
$|\overrightarrow{AP}|$=3√2,　$|\overrightarrow{AB}|$=$|\overrightarrow{PB}|$=3,　$|\overrightarrow{AC}|$=$|\overrightarrow{PC}|$=3
が成り立つ場合を考える。このとき
$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AC}$=$\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}$
である。さらに、直線AM上の点Dが$\mathrm{\angle }$APD=90°を満たしているとする。このとき、$\overrightarrow{AD}$=$\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}\overrightarrow{AM}$である。
(3)
$\overrightarrow{AQ}$=$\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}\overrightarrow{AM}$
で定まる点をQとおく。$\overrightarrow{PA}$と$\overrightarrow{PQ}$が垂直である三角錐PABCはどのようなものかについて考えよう。例えば(2)の場合では、点Qは点Dと一致し、$\overrightarrow{PA}$と$\overrightarrow{PQ}$は垂直である。
(i)$\overrightarrow{PA}$と$\overrightarrow{PQ}$が垂直であるとき、$\overrightarrow{PQ}$を$\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{AC}$,$\overrightarrow{AP}$を用いて表して考えると、$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}}$が成り立つ。さらに①に注意すると、$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}}$から$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}}$が成り立つことがわかる。
したがって、$\overrightarrow{PA}$と$\overrightarrow{PQ}$が垂直であれば、$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}}$が成り立つ。逆に、$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}}$が成り立てば、$\overrightarrow{PA}$と$\overrightarrow{PQ}$は垂直である。
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}}$の解答群
⓪$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AP}$
①$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AC}$=$-\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AP}$
②$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}\mathrm{・}\overrightarrow{AC}$
③$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AC}$=$-\overrightarrow{AB}\mathrm{・}\overrightarrow{AC}$
④$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AC}$=0
⑤$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AC}$=0
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}}$の解答群
⓪$|\overrightarrow{AB}|$+$|\overrightarrow{AC}|$=$\sqrt{2}|\overrightarrow{BC}|$
①$|\overrightarrow{AB}|$+$|\overrightarrow{AC}|$=$2|\overrightarrow{BC}|$
②$|\overrightarrow{AB}|\sin \theta$+$|\overrightarrow{AC}|\sin \theta$=$|\overrightarrow{AP}|$
③$|\overrightarrow{AB}|\cos \theta$+$|\overrightarrow{AC}|\cos \theta$=$|\overrightarrow{AP}|$
④$|\overrightarrow{AB}|\sin \theta$=$|\overrightarrow{AC}|\sin \theta$=$2|\overrightarrow{AP}|$
⑤$|\overrightarrow{AB}|\cos \theta$=$|\overrightarrow{AC}|\cos \theta$=$2|\overrightarrow{AP}|$
(ii)kを正の実数とし
$k\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AP}\mathrm{・}\overrightarrow{AC}$
が成り立つとする。このとき、$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}}$が成り立つ。
また、点Bから直線APに下ろした垂線と直線APとの交点をB'とし、同様に点Cから直線APに下ろした垂線と直線APとの交点をC'とする。
このとき、$\overrightarrow{PA}$と$\overrightarrow{PQ}$が垂直であることは、$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}}}$であることと同値である。特にk=1のとき、$\overrightarrow{PA}$と$\overrightarrow{PQ}$が垂直であることは、$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}}}$であることと同値である。
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}}$の解答群
⓪$k|\overrightarrow{AB}|$=$|\overrightarrow{AC}|$　①$|\overrightarrow{AB}|$=$k|\overrightarrow{AC}|$　
②$k|\overrightarrow{AP}|$=$\sqrt{2}|\overrightarrow{AB}|$　③$k|\overrightarrow{AP}|$=$\sqrt{2}|\overrightarrow{AC}|$
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}}}$の解答群
⓪B'とC'がともに線分APの中点
①B'とC'が線分APをそれぞれ(k+1):1と1:(k+1)に内分する点
②B'とC'が線分APをそれぞれ1:(k+1)と(k+1):1に内分する点
③B'とC'が線分APをそれぞれk:1と1:kに内分する点
④B'とC'が線分APをそれぞれ1:kとk:1に内分する点
⑤B'とC'がともに線分APをk:1に内分する点
⑥B'とC'がともに線分APを1:kに内分する点
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}}}$の解答群
⓪$\mathrm{△}$PABと$\mathrm{△}$PACがともに正三角形
①$\mathrm{△}$PABと$\mathrm{△}$PACがそれぞれ$\mathrm{\angle }$PBA=90°, $\mathrm{\angle }$PCA=90°を満たす直角二等辺三角形
②$\mathrm{△}$PABと$\mathrm{△}$PACがそれぞれBP=BA, CP=CAを満たす二等辺三角形
③$\mathrm{△}$PABと$\mathrm{△}$PACが合同
④AP=BC

2023共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 2}}$ 0<$k$1とする。座標空間内の四面体OABCについて、線分ACの中点をD、線分BCの中点をE、線分DEを1：2に内分する点をPとする。また、
線分OPを$k$：1-$k$に内分する点をQとし、Rを$\overrightarrow{CR}$=$l\overrightarrow{CQ}$を満たす点とする。
$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{OA}$,　$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{OB}$,　$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{OC}$とおいたとき、次の問いに答えよ。
(1)$\overrightarrow{OD}$,　$\overrightarrow{OE}$,　$\overrightarrow{OP}$を$\overrightarrow{a}$,　$\overrightarrow{b}$,　$\overrightarrow{c}$を用いて表せ。
(2)$\overrightarrow{OR}$を$\overrightarrow{a}$,　$\overrightarrow{b}$,　$\overrightarrow{c}$,　$k$,　$l$を用いて表せ。
(3)Rが平面OAB上にあるとき、$l$を$k$を用いて表せ。
(4)線分OAの中点をF、線分OBの中点をGとする。Rが線分FG上にあるときの$k$の値を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 5}}$サッカーボールは12個の正五角形と20個の正六角形からなり、切頂二十面体と呼ばれる構造をしている。以下では、正五角形と正六角形の各辺の長さを1であるとし、右図のように頂点にアルファベットで名前を付ける。なお、正五角形の辺と対角線の長さの比は
$1:\frac{1+\sqrt{5}}{2}$である。

(1)$\overrightarrow{O{A}_1}$と$\overrightarrow{O{A}_2}$の内積は,
$\overrightarrow{O{A}_1}\mathrm{・}\overrightarrow{O{A}_2}={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}+\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}}}$である.

2023慶應義塾大学総合政策学部過去問

問題文全文(内容文)：
一辺の長さが1である立方体QACB-CFGEを考える。
$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OB}$
$=\overrightarrow{b},\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c},$ とおき、実数s,tに対し
点P,Qを
$\overrightarrow{OP}=(1-s)\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}+$
$s\overrightarrow{c},\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}+(1-t)\overrightarrow{c}$
を満たす点とする。
(1)点Pは直線$\boxed{{\displaystyle \mathrm{あ}}}$上にあり、点Qは直線$\boxed{{\displaystyle \mathrm{い}}}$上にある。
(2)直線$\boxed{{\displaystyle \mathrm{あ}}}$と直線$\boxed{{\displaystyle \mathrm{い}}}$とは$\boxed{{\displaystyle \mathrm{う}}}$

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{う}}}$の選択肢
$(\text{a})$一致する $(\text{b})$平行である $(\text{c})$直交する $(\text{d})$交わるが直交しない。
$(\text{e})$ねじれの位置にあって垂直である $(\text{f})$ねじれの位置にあって垂直でない。

(3)線分PQの長さは、$s=\boxed{{\displaystyle \mathrm{え}}},t=\boxed{{\displaystyle \mathrm{お}}}$のとき最小値をとり、
このとき$P{Q}^2=\boxed{{\displaystyle \mathrm{か}}}$である。

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{え}}}\boxed{{\displaystyle \mathrm{お}}}\boxed{{\displaystyle \mathrm{か}}}$の選択肢
$(\text{a})0(\text{b})\frac{1}{6}(\text{c})\frac{1}{4}(\text{d})\frac{1}{3}$
$(\text{e})\frac{1}{2}(\text{f})\frac{2}{3}(\text{g})\frac{3}{4}(\text{h})1$
$(\text{i})\frac{4}{3}(\text{j})\frac{3}{2}(\text{k})2(\text{l})3$

(4)$s,t$が$0\leqq s\leqq 1,0\leqq t\leqq 1$の範囲を動くとき、線分PQの中点Mの動く領域は
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{き}}}$であり、その面積は$\frac{\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}}$である。

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{き}}}$の選択肢
$(\text{a})$正三角形 $(\text{b})$直角二等辺三角形 $(\text{c})$直角二等辺三角形でない直角三角形
$(\text{d})$直角二等辺三角形でない直角三角形でもない三角形 $(\text{e})$正方形 $(\text{f})$正方形でない長方形
$(\text{g})$長方形でない平行四辺形 $(\text{h})$並行四辺形でない四角形$(\text{i})$五角形$(\text{i})$六角形
(5)$s,t$が$0\leqq s\leqq 1,0\leqq t\leqq 1$の範囲を動くとき、線分PQが通過する領域の体積は
$\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}}$である。

2022上智大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
【空間ベクトル】直線の方程式　発展分野解説動画です
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点$A(3,2,1)$を通り、$\overrightarrow{d}=(1,2,4)$に平行な直線の方程式は?