問題文全文(内容文)：
次の和を求めよ。
$\displaystyle \frac{1}{1・3}+\displaystyle \frac{1}{3・5}+\displaystyle \frac{1}{5・7}+$
$…+\displaystyle \frac{1}{(2n-1)・(2n+1)}$

問題文全文(内容文)：
①$n^3(n^2-1)$が8の倍数であることを示せ($n$)整数

②$\displaystyle \sum_{k=1}^n \displaystyle \frac{1}{k(k+1)(k+2)(k+3)}$


出典：和歌山県立医科大学/奈良女子大学　過去問

問題文全文(内容文)：
(1)三角形$ABC$の内接円が辺$AB$と接する点をPとし、
辺$BC$と接する点を$Q$とし、辺$CA$と接する点をRとする。
$\angle A$の大きさを$θ$とすると、$\angle APR=\boxed{ア}$であり、
$\angle PQR=\boxed{ア}$である。

$\boxed{ア}$の解答群
$⓪0 ①\frac{\pi}{2} ②θ ③\frac{θ}{2} ④\frac{\pi}{2}-θ ⑤\frac{\pi-θ}{2}$
$⑥\pi-\frac{θ}{2} ⑦\pi-θ ⑧\frac{\pi-3θ}{2} ⑨\frac{\pi}{2}-3θ$

(2)三角形$T_1$の3つの角のうち、角の大きさが最小のものは$\frac{\pi}{6}$で、
最大のものは$\frac{\pi}{2}$であるとする。
$n=1,\ 2,\ 3,\ ...$について、三角形$T_n$の内接円を$O_n$とし、
$T_n$と$O_n$とが接する3つの点を頂点とするような三角形を$T_{n+1}$とする。
このとき、三角形$T_2$の3つの角のうち、
角の大きさが最小のものは$\frac{\pi}{\boxed{イ}}$で、
最大のものは$\frac{\boxed{ウ}\ \pi}{\boxed{エオ}}$である。
$n=1,\ 2,\ 3,\ ...$について、三角形$T_n$の3つの角のうち、
角の大きさが最小のものを$a_n$とし、最大のものを$b_n$とする。三角形$T_{n+1}$について、
$a_{n+1}=\boxed{カ},\ \ \ b_{n+1}=\boxed{キ}$
と表せる。この式より
$a_n+b_n=\frac{\boxed{ク}}{\boxed{ケ}}\pi,$
$b_n-a_n=\frac{\pi}{\boxed{コ}・\boxed{サ}^{n-1}}$
であり、$a_n=\frac{\pi}{\boxed{シ}}(1-\frac{1}{\boxed{ス}^n}) $である。

$\boxed{カ}、\boxed{キ}$の解答群
$⓪\frac{a_n}{2} ①\frac{b_n}{2} ②\frac{\pi}{2}-a_n ③\frac{\pi}{2}-b_n ④\frac{\pi-a_n}{2}$
$⑤\frac{\pi-b_n}{2} ⑥\pi-\frac{a_n}{2} ⑦\pi-\frac{b_n}{2} ⑧\pi-a_n ⑨\pi-b_n$

2022明治大学全統過去問

問題文全文(内容文)：
訂正
自然数の列
$a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}$は等比数列
$S=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}$
$S'=a_{1}-a_{2}-a_{3}-a_{4}-a_{5}$
$T=a^2_{1}+a^2_{2}+a^2_{3}+a^2_{4}+a^2_{5}$

（1）
$\displaystyle \frac{T}{S}=S'$を示せ

（2）
$T$が素数のとき、$T$の値は？



出典：大阪大学　過去問

問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{3}}$次の条件によって定められる数列$\left\{a_n\right\}$がある。
$a_1=1,　a_{n+1}=3a_n+4n　(n=1,2,3,\ldots)$
また、$n$に無関係な定数$p,q$に対し、
$b_n=a_n+pn+q　(n=1,2,3,\ldots)$
とおく。このとき次の問いに答えよ。
(1)$n,p,q$に無関係な定数$A,B,C,D,E$が
$b_{n+1}=Ab_n+(Bp+C)n+(Dp+Eq)　(n=1,2,3,\ldots)$
を満たすとき、A,B,C,D,Eの値をそれぞれ求めよ。
(2)Aを(1)で求めた値とする。数列$\left\{b_n\right\}$が公比$A$の等比数列となるような
$p,q$の値をそれぞれ求めよ。
(3)(2)で求めた$p,q$の値に対して、数列$\left\{b_n\right\}$の一般項を求めよ。

2021立教大学経済学部過去問