問題文全文(内容文)：
$\frac{dx}{dt}=x+e^{2t}$
(1)$x=e^{2t}$が解
(2)$x=e^{2t}+c{e}^t$が一般解
cは任意定数
(3)t=0,x=-1をみたす特殊解を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 5}}$ Oを原点とするxyz空間において、点Pと点Qは次の3つの条件(a),(b),(c)を満たしている。
(a)：点Pはx軸上にある。
(b)：点Qはyz平面上にある。
(c)：線分OPと線分OQの長さの和は1である。
点Pと点Qが条件(a),(b),(c)を満たしながらくまなく動くとき、線分PQが通過してできる立体の体積を求めよ。

2023京都大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 5}}$ nを2以上の自然数とする。
(1)0≦x≦1のとき、次の不等式が成り立つことを示せ。
$\frac{1}{2}{x}^2$≦${\displaystyle (-1{)}^n\{\frac{1}{x+1}-1-\sum \mathrm{\_}{k=2}^n(-x{)}^{k-1}\}}$≦$x^n-\frac{1}{2}{x}^{n+1}$
(2)$a_n$=${\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{(-1{)}^{k-1}}{k}}$　とするとき、次の極限値を求めよ。
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(-1{)}^{n}n(a_n-\log 2)}$

2023大阪大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 4}}$自然数$n$に対し,$f_n(x)=x^{-1+\frac{1}{n}}(x>0)$とおく.
また,正の実数$a_n$は${\displaystyle {\int }_1^{a_n}{f}_n(x)dx=1}$満たすものとする.次の問い　
答えよ.

(1)関数$f_n(x)$の不定積分を求めよ.

(2)$a_n$の値と極限${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n}$を求めよ.また,正の実数$b_n$が${\displaystyle {\int }_1^{b_n}{f}_{n+1}(x)dx=-1}$を満たすとき,$b_n$の値と極限${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n}$を求めよ.

(3)2以上の自然数$k$に対して${\displaystyle {\int }_{k-1}^k{f}_n(x)dx>{\displaystyle \frac{1}{k}}}$を示し,これを利用して$a_n<4$を証明せよ.

(4)${\displaystyle {\int }_1^{a_n}{f}_{n+1}(x)dx<1}$を示し,これを利用して$a_n\lt a_{n+1}＄を証明せよ.

2021中央大理工学部過去問

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 4}}$ 以下の文章を読んで後の問いに答えよ。
三角関数$\cos x$, $\sin x$については加法定理が成立するが、逆に加法定理を満たす関数はどのようなものがあるだろうか。実数全体を定義域とする実数値関数$f(x)$, $g(x)$が以下の条件を満たすとする。
(A)すべてのx, yについて$f(x+y)$=$f(x)$$f(y)$-$g(x)$$g(y)$
(B)すべてのx, yについて$g(x+y)$=$f(x)$$g(y)$+$g(x)$$f(y)$
(C)$f(0)$$\ne$0
(D)$f(x)$, $g(x)$はx=0で微分可能で$f^{\prime }(0)$=0, $g^{\prime }(0)$=1
条件(A), (B), (C)から$f(0)$=1, $g(0)$=0 がわかる。以上のことから$f(x)$, $g(x)$はすべてのxの値で微分可能で、$f^{\prime }(x)$=$-g(x)$, $g^{\prime }(x)$=$f(x)$が成立することが示される。上のことから$\{f(x)+ig(x)\}$$(\cos x-i\sin x)$=1 であることが、実部と虚部を調べることによりわかる。ただし$i$は虚数単位である。よって条件(A), (B), (C), (D)を満たす関数は三角関数$f(x)$=$\cos x$, $g(x)$=$\sin x$であることが示される。
さらに、a, bを実数でb≠0とする。このとき条件(D)をより一般的な(D)', $f(x)$, $g(x)$はx=0で微分可能で$f^{\prime }(0)$=a, $g^{\prime }(0)$=b
におきかえて、条件(A), (B), (C), (D)'を満たす$f(x)$, $g(x)$はどのような関数になるか考えてみる。この場合でも、条件(A), (B), (C)から$f(0)$=1, $g(0)$=0が上と同様にわかる。ここで
$p(x)$=$e^{-\frac{a}{b}x}f(\frac{x}{b})$,　$q(x)$=$e^{-\frac{a}{b}x}g(\frac{x}{b})$
とおくと、条件(A), (B), (C), (D)において、$f(x)$を$p(x)$に、$g(x)$を$q(x)$におきかえた条件が満たされる。すると前半の議論により、$p(x)$, $q(x)$がまず求まり、このことを用いると$f(x)$=$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}$, $g(x)$=$\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}$が得られる。
(1)下線部①について、$f(0)$=1, $g(0)$=0であることを示せ。
(2)下線部②について、$f(x)$がすべてのxの値で微分可能な関数であり、
$f^{\prime }(x)$=$-g(x)$となることを示せ。
(3)下線部③について、下線部①、下線部②の事実を用いることにより、
$\{f(x)+ig(x)\}$$(\cos x-i\sin x)$=1 となることを示せ。
(4)下線部④について、条件(B), (D)において、$f(x)$を$p(x)$に、$g(x)$を$q(x)$におきかえた条件が満たされることを示せ。つまり$p(x)$を$q(x)$が、
(B)すべてのx, yについて、$q(x+y)$=$p(x)$$q(y)$+$q(x)$$p(y)$
(D)$p(x)$, $q(x)$はx=0 で微分可能で$p^{\prime }(0)$=0, $q^{\prime }(0)$=1
を満たすことを示せ。また空欄$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}$, $\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}$に入る関数を求めよ。

2023九州大学理系過去問