問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$

数列$\{a_n\}$を

$a_1=a_2=1,a_{n+2}=a_{n+1}+a_n (n=1,2,3,\cdots)$

により定め、数列$\{b_n\}$を

$\tan b_n=\dfrac{1}{a_n}$

により定める。

ただし、$0\lt b_n \lt \dfrac{\pi}{2}$であるものとする。

(1)$n\geqq 2$に対して、$a_{n+1}a_{n-1}-{a_n}^2$を求めよ。

(2)$m\geqq 1$($m$は整数)に対して、

$a_{2ｍ}･\tan(b_{2m+1}+b_{2m+2})$を求めよ。

(3)無限級数$\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty} b_{2m+1}$を求めよ。

$2025$年東京科学大学(旧・東京工業大学)
理系過去問題

問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{4}}　$
1辺の長さが$1$の正三角形を下図(※動画参照)のように積んでいく。図の中には大きさの異なったいくつかの正三角形が含まれているが、底辺が下側にあるものを「上向きの正三角形」、底辺が上側にあるものを「下向きを正三角形」とよぶことにする。例えば、この図(※動画参照)は1辺の長さが1の正三角形を4段積んだものであり、1辺の長さが1の上向きの正三角形は10個あり、1辺の長さが2の上向き正三角形は6個ある。
また1辺の長さが1の下向きの正三角形は6個ある。上向きの正三角形の総数は20であり、下向きの正三角形の総数は7である。こうした正三角形の個数に関して次の問いに答えよ。
(1)1辺の長さが1の正三角形を$5$段積んだとき、上向きと下向きとを合わせた正三角形の総数を求めよ。
(2)1辺の長さが1の正三角形を$n$段(ただし$n$は自然数)積んだとき、上向きの正三角形の総数を求めよ。
(3)1辺の長さが1の正三角形を$n$段(ただし$n$は自然数)積んだとき、下向きの正三角形の総数を求めよ。

問題文全文(内容文)：
2⃣-(7)
a＜b＜c , b＞0
a,b,cの順で等差数列、$a^2,b^2,c^2$の順で等比数列のとき公比rを求めよ。

問題文全文(内容文)：
$a_1,a_2,a_3,\cdots$は公差$1$の等差数列であり、$a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{98}=137$を満たす。
このとき、$a_2+a_4+a_6+\cdots+a_{98}$の値を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$a_1=2,a_{n+1=2a_n-2a_n-2n+1(n=1,2,・・・)}$によって定められる数列$\{a_n\}$について、次の問いに答えよ。

（1）
$b_n=a_n-(\alpha+\beta)$とおいて、数列$\{b_n\}$が等比数列になるように定数$\alpha,\beta$の値を定めよ。

（2）
一般項$a_n$を求めよ。

（3）
初項から第$n$項までの和$S_n=\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を求めよ。